Oppgåver og aktivitetar

Polynomfunksjonen som modell

Øv på å bruke regresjon i desse oppgåvene.

3.3.30

a) Bruk verktøyet "Mangekant" i GeoGebra til å teikne sju ulike rektangel. Alle rektangla skal ha ein omkrins på 24 cm. La $x$ -verdien vere breidda på rektangelet. Vel du til dømes at breidda $x$ skal vere 4 cm, blir høgda 8 cm.

Tips til oppgåva

Lag ein funksjon for høgda av eit rektangel med omkrins 24 cm og breidde $x$ cm. Lag ein verditabell for denne funksjonen.

Løysing

Vi kallar høgda i rektangelet for $h$ . Når breidda er $x$ , har vi at

$\begin{array}{rcl} 2 x + 2 h & = & 24 \\ 2 h & = & 24 - 2 x \\ \frac{2 h}{2} & = & \frac{24 - 2 x}{2} \\ h & = & 12 - x \end{array}$

Vi får funksjonen $h (x) = 12 - x$ . Vi lagar deretter ein verditabell.

$x$	2	4	5	6	7	9	11
$h (x)$	10	8	7	6	5	3	1

Så teiknar vi rektangla.

Sju rektangel med omkrins og areal skrive inn. Alle rektangla har omkrins 24. Breidda og høgda til kvart rektangel ser ut til å vere som i verditabellen i oppgåva. Areala er 20, 32, 35, 36, 35, 27 og 11. Illustrasjon.

b) Bruk verktøyet "Avstand eller lengde" (som ligg under knappen "Vinkel" på verktøyrada i GeoGebra) til å måle omkrinsen av rektangla. Bruk deretter verktøyet "Areal" til å måle arealet av rektangla.

Løysing

Etter å ha valt eitt av verktøya trykkjer du på eitt av rektangla, og anten kjem arealet eller omkrinsen av rektangelet opp som ein tekstboks. Sjå figuren i førre oppgåve.

c) Bruk reknearkdelen i GeoGebra, og skriv inn breiddene på rektangla i éin kolonne og areala av rektangla i ein annan. Marker tala, og bruk verktøyet "Regresjonsanalyse". Får du fram tala som punkt i eit koordinatsystem? Vi tenkjer oss ei kurve gjennom punkta. Kva slags kurve liknar dette på?

Løysing

Vi lagar først ein tabell over tala vi skal bruke.

x	2	4	5	6	7	9	11
Areal	20	32	35	36	35	27	11

Vi legg tala frå tabellen inn i reknearkdelen i GeoGebra og bruker verktøyet "Regresjonsanalyse". Då skal vi få fram eit koordinatsystem med punkta som vist nedanfor.

Til venstre i figuren er tala frå tabellen i oppgåva lagde inn i to kolonnar i reknearkdelen av programmet GeoGebra. Til høgre er regresjonsverktøyet vist med eit koordinatsystem med punkt teikna etter tala i reknearkdelen. Skjermutklipp. — Regresjonsverktøyet i GeoGebra før regresjonsmodell er vald

Det ser ut som om punkta ligg langs ein parabel, det vil seie ein andregradsfunksjon.

d) Bruk regresjon og finn det andregradsuttrykket som passar best til punkta i tabellen. Teikn grafen til andregradsuttrykket. La $A$ vere arealet av rektangelet og $x$ vere breidda på rektangelet.

Løysing

Grafen til funksjonen A av x er lik minus x i andre pluss 12 x er teikna for x-verdiar mellom 0 og 12. I tillegg er punkta grafen er danna av, teikna. Illustrasjon.

I regresjonsanalyseverktøyet vel vi polynom av grad 2 som regresjonsmodell. Deretter vel vi "Kopier til grafikkfeltet" for å få grafen til funksjonen over i det vanlege grafikkfeltet. Vi finn at funksjonen $A$ kan beskrivast med andregradsuttrykket

$A (x) = - x^{2} + 12 x$

e) For kva verdi av $x$ har rektangelet størst areal, og kva er arealet då?

Løysing

Vi ser at grafen har toppunkt når $x = 6$ . Arealet er altså størst når rektangelet er kvadratisk, det vil seie når breidda er 6 cm. Arealet er då

$6 cm \cdot 6 cm = 36 {cm}^{2}$

f) Ein bonde har 600 m gjerde til disposisjon. Han vil gjerde inn eit rektangulært område til sauene sine. Korleis bør bonden setje opp gjerdet dersom sauene skal få mest mogleg plass å boltre seg på?

Løysing

Ifølgje modellen vi fann ovanfor, bør bonden gjerde inn eit kvadratisk område. Sida i kvadratet blir fjerdeparten av 600 m, som er 150 m. Arealet blir då

$150 m \cdot 150 m = 22 500 m^{2}$

3.3.31

Camilla kastar ein ball rett opp i lufta. Tabellen viser høgda til ballen $h$ i meter etter $x$ sekund.

x, sekund	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
h, høgde over bakken	1,8	7,6	11	11,9	10,4	6,4	0

a) Bruk regresjon, og finn den andregradsfunksjonen som passar best til punkta i tabellen. Teikn grafen.

Løysing

Vi legg punkta inn i reknearkdelen i GeoGebra. Vi vel verktøyet "Regresjonsanalyse" og bruker polynom av grad 2 som regresjonsmodell.

Vi finn at funksjonen $h$ kan beskrivast med uttrykket

$h (x) = - 4, 9 x^{2} + 14, 1 x + 1, 8$

Grafen til funksjonen h av x er lik minus 4,9 x i andre pluss 14,09 x pluss 1,8 er teikna for x-verdiar mellom 0 og 3. Punkta som er utgangspunkt for grafen er også teikna. Grafen går gjennom alle punkta. Illustrasjon.

b) Finn grafisk når ballen er 10 m over bakken.

Løysing

Vi kan sjå av grafen at ballen er 10 m over bakken etter cirka 0,8 s og etter cirka 2,1 s.

Alternativt kan vi leggje inn linja $y = 10$ i grafikkfeltet i GeoGebra og finne skjeringspunkta mellom grafen og linja.

c) Når treffer ballen bakken?

Løysing

Ballen treffer bakken der grafen skjer $x$ -aksen. Vi ser av grafen at ballen treffer bakken etter cirka 3 s.

Her kunne vi òg brukt verktøyet "Nullpunkt" eller løyst likninga $h (x) = 0$ .

d) Når er ballen 15 m over bakken?

Løysing

Vi ser av grafen at ballen aldri når denne høgda!

e) Kor høgt når ballen, og når er ballen på det høgaste punktet?

Løysing

Vi ser av grafen at ballen når det høgaste punktet etter cirka 1,4 s. Då har han ei høgde på 12,0 m over bakken.

Alternativt kan vi løyse oppgåva ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" i GeoGebra.

3.3.32

Per målte temperaturen ute kvar fjerde time gjennom eit døgn. Tabellen viser klokkeslett med tilhøyrande temperatur $T$ .

Klokkeslett	14.00	18.00	22.00	02.00	06.00	10.00	14.00
Temperatur T i °C	2,5	0,3	-1,4	-2,0	-2,6	-2,1	-0,2

a) Bruk regresjon og finn den andregradsfunksjonen som passar best til punkta i tabellen. La $x$ vere talet på timar etter kl. 14.

Løysing

Vi legg punkta inn i reknearkdelen i GeoGebra og vel "Regresjonsanalyse" og polynom av grad 2 som regresjonsmodell. Vi finn at funksjonen $T$ kan beskrivast med uttrykket

$T (x) = 0, 0234 x^{2} - 0, 69 x + 2, 6$

b) Korleis passar grafen med temperaturmålingane?

Løysing

Grafen til funksjonen T av x er lik 0,02 x i andre minus 0,69 x pluss 2,6 er teikna for x-verdiar mellom 0 og 30. Punkta som er utgangspunktet for grafen er også teikna. Ingen av punkta ligg langt frå grafen. Illustrasjon.

Grafen passar nokså bra med dei observerte temperaturane.

c) Kva vil temperaturen ifølgje modellen vere 30 timar etter at Per starta målingane?

Løysing

30 timar etter at målinga starta, det vil seie kl. 18 neste dag, viser modellen ein temperatur på cirka $3 C °$ .

d) Kva vil temperaturen ifølgje modellen vere 48 timar etter at Per starta målingane? Vurder kor realistisk modellen er.

Løysing

CAS-utrekning i GeoGebra. På linje 1 står det T av 48. Svaret med tilnærming er 23,39. Skjermutklipp.

48 timar etter at målinga starta, viser modellen ein temperatur på cirka $23 C °$ . Det verkar usannsynleg når temperaturen på natta var under null.

Modellen er realistisk i det døgnet Per gjorde målingane. Går vi utover denne tida, verkar modellen svært urealistisk. Etter modellen vil temperaturen berre stige utover.

3.3.33

Tabellen viser observert vasstand på Tregde 1. februar 2008. Observert vasstand er i cm over middelvatn (middel vasstand). I tabellen er $x$ timar etter midnatt og $h$ er høgda målt i centimeter over middelvatn. Av tabellen kjem det fram at vasstanden var spesielt låg denne dagen.

x	0	2	4	6	8	10	12
h	-9	-13	-12	-6	-3	-1	-7

a) Bruk eit digitalt hjelpemiddel og finn det tredjegradsuttrykket som passar best med verdiane i tabellen.

Løysing

Graf som viser vasstanden. Punkta frå oppgåva er òg teikna inn. Grafen går igjennom eitt av punkta. Ingen av dei andre punkta ligg langt frå grafen. Illustrasjon.

Vi legg punkta inn i reknearkdelen i GeoGebra og vel "Regresjonsanalyse" og polynom av grad 3 som regresjonsmodell.

Vi finn at funksjonen $h$ kan beskrivast med uttrykket

$h (x) = - 0, 066 x^{3} + 1, 15 x^{2} - 4, 19 x - 8, 95$

Vi ser at grafen treffer godt med dei observerte verdiane.

b) Når var vasstanden lågast?

Løysing

Vi bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" på funksjonen $h$ og får eit toppunkt og eit botnpunkt, sjå figuren nedanfor.

Grafen til funksjonen h av x er lik minus 0,066 x i tredje pluss 1,15 x i andre minus 4,19 x minus 8,95 er teikna for x-verdiar mellom 0 og 13. I tillegg er punkta som dannar grunnlaget for funksjonen, teikna inn. Toppunktet med koordinatar 9,42 og minus 1,08 og botnpunktet med koordinatar 2,25 og minus 13,28 er teikna inn. Illustrasjon. — Ekstremalpunkta til grafen

Vi ser at grafen er lågare enn botnpunktet dersom vi ser på etter kl. 13, men vi veit eigentleg ikkje kor lågt det går eller kor langt ut i tid modellen gjeld. Vi kan i alle fall seie at mellom midnatt og kl. 12 var den lågaste vasstanden minus 13,4 cm under middel vasstand, og det var kl. 2.15 på natta.

c) Ein større båt skal leggje til kai i nærleiken av Tregde. Båten kan ikkje kome inn til kaien dersom vasstanden avvik meir enn $- 10$ cm frå middel vasstand. I kva tidsrom kan båten gå inn til kaien?

Løysing

Vi må sjå kvar grafen har verdiar over $- 10$ . Vi kan sjå av grafen at frå litt før kl. 5 til litt etter kl. 12 kan båten gå til kai ved Tregde. Det er òg nokre minutt rett etter midnatt det vil vere teoretisk mogleg å leggje til, men kanskje ikkje i praksis.

d) Vurder kor gyldig modellen vil vere lenger fram i tid.

Løysing

Vi sjekkar kva verdi vi får 24 timar etter midnatt.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive h av 24. Svaret med tilnærming er minus 359,49. Skjermutklipp.

1 døgn (24 timar) etter midnatt viser modellen eit avvik på -360 cm frå middel vasstand. Det er urealistisk, så modellen er ikkje gyldig fram i tid.

3.3.34

Tabellen viser temperatursvingingane gjennom eit flott sommardøgn i Mandal. Temperaturen $T$ er gitt i grader og $x$ er talet på timar etter midnatt.

x	0	1	4	7	9	10	12	13	15	17	20	22	24
T (°C)	19	17	15	17	19	21	25	26	27	26	24	22	18

a) Kva for ein matematisk modell trur du kan passe med desse punkta?

Løysing

Vi legg punkta inn i reknearkdelen i GeoGebra, vel "Regresjonsanalyse" og observerer punkta i regresjonsanalysevindauget. Punkta ser ut omtrent som på figuren nedanfor. Då kan ein tredjegradsfunksjon passe.

Punkta frå oppgåva er teikna inn i eit koordinatsystem. Punkta kan sjå ut til å følgje ei kurve som først søkk, så stig, og til slutt søkk igjen. Illustrasjon.

b) Finn ein matematisk modell som beskriv temperaturen i Mandal dette døgnet.

Løysing

I regresjonsanalyseverktøyet vel vi polynom med grad 3 som regresjonsmodell.

Vi finn at tredjegradsfunksjonen

$T (x) = - 0, 008 x^{3} + 0, 261 x^{2} - 1, 5 x + 18, 3$

passar godt som modell for temperaturutviklinga.

Graf som viser temperatur. Punkta frå oppgåva er også teikna inn. Punkta passar ganske godt med grafen. Illustrasjon.

Vi observerer at modellen passar best fram til kl. 15. Så søkk temperaturen raskare enn det modellen gir.

c) Vurder gyldigheita til modellen du fann ovanfor, når vi lèt tida $x$ etter midnatt bli meir enn 24 timar.

Løysing

Modellen vi fann, beskriv temperaturen dei første 24 timane etter midnatt på ein god måte. Utover 24 timar er modellen ubrukeleg. Etter 24 timar vil temperaturen ifølgje modellen stadig gå nedover.

CC BY-SASkrive av Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist fagleg oppdatert 13.07.2022

Polynomfunksjonen som modell

3.3.30

3.3.31

3.3.32

3.3.33

3.3.34

Reglar for bruk