3.3.40
Teikn grafen til funksjonen .
Vis fasit
3.3.41
Teikn grafen til funksjonane gitt ved funksjonsuttrykka nedanfor, og bestem asymptotane.
a)
Vis fasit
Den vertikale asymptoten finn vi ved å setje nemnaren i funksjonsuttrykket lik 0.
Vi får som gir .
Den vertikale asymptoten blir .
Den horisontale asymptoten finn vi ved å la -leddet gå mot eit uendeleg stort positivt eller negativt tal. Konstantane i brøken betyr då minimalt, og vi kan skrive .
Horisontal asymptote blir .
I GeoGebra kan vi finne begge asymptotane ved kommandoen Asymptote(f)
.
b)
Vis fasit
Vi har som gir den vertikale asymptoten .
Den horisontale asymptoten finn vi ved å la -leddet gå mot eit uendeleg stort positivt eller negativt tal. Konstantane i brøken betyr då minimalt, og vi kan skrive .
Horisontal asymptote blir .
c)
Vis fasit
Vi har som gir den vertikale asymptoten .
Den horisontale asymptoten finn du ved å la -leddet gå mot eit uendeleg stort positivt eller negativt tal. Konstantane i brøken betyr då minimalt, og vi kan skrive .
Horisontal asymptote blir (altså -aksen).
d)
Vis fasit
Vi har som gir den vertikale asymptoten .
Her har vi i tillegg ein skråasymptote .
(Du finn eventuelle skråasymptotar i GeoGebra på same måte som du finn vertikale og horisontale asymptotar.)
3.3.42
Morten hadde på 2000-talet eit mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per månad. I tillegg betaler han 0,49 kroner per minutt når han ringjer. Kostnadene per minutt for Mortens mobilbruk ein månad han ringjer minutt kan skrivast som
a) Teikn grafen til for -verdiar mellom 0 og 1400.
Vis fasit
Vi bruker kommandoen til å teikne funksjonen.
b) Kva nærmar kostnadene seg per minutt når Morten ringjer svært mykje?
Vis fasit
Når Morten ringjer svært mykje, vil den faste månadsavgifta bety svært lite, og kostnadene per minutt vil nærme seg 49 øre. Sjå linja
c) Kva blir prisen per minutt dersom Morten ein månad ringjer 300 minutt?
Vis fasit
Vi skriv inn punktet
d) Kor mykje må Morten ringje dersom det skal koste 60 øre per minutt?
Vis fasit
Vi teiknar linja
3.3.43
Ei bedrift produserer sykkelhjelmar. Ved ein produksjon av
a) Kva er totalkostnaden ved produksjon av 300 hjelmar?
Vis fasit
Det kostar 55 500 kr å produsere 300 sykkelhjelmar.
b) Vis at gjennomsnittskostnaden
Vis fasit
c) Teikn grafen til
Vis fasit
Vi bruker kommandoen
til å teikne grafen.
d) Kva er gjennomsnittskostnaden per hjelm når totalkostnaden er 84 300 kr?
Vis fasit
Med ein totalkostnad på 84 300 kr blir det produsert 492 sykkelhjelmar.
Dette gir ein gjennomsnittskostnad på
Når det blir produsert hjelmar for 84 300 kr, kostar kvar hjelm 171 kr.
3.3.44
Vi ser på den rasjonale funksjonen
a) Er funksjonen definert for alle verdiar av
Vis fasit
Vi kan ikkje ha null i nemnaren, altså er funksjonen ikkje definert for
b) Vis ved rekning at funksjonen ikkje har nokon asymptotar.
Vis fasit
Vi sjekkar brotpunktet
Vi sjekkar om vi kan finne ein fast verdi som funksjonsverdien nærmar seg dersom vi lèt
Vi finn ingen fast verdi, altså har ikkje funksjonen nokon horisontal asymptote.
c) Faktoriser og forkort brøken. Kva slags graf vil funksjonen få?
Vis fasit
Grafen blir ei rett linje med brot for
d) Teikn grafen.
Vis fasit
GeoGebra markerer ikkje brotpunktet, så vi har markert det manuelt ved å legge på ein tekstboks med eit kryss.
3.3.45
Vi har gitt den rasjonale funksjonen
a) Kan du ved å sjå på funksjonen seie noko om kva
Vis fasit
Vi ser at vi har
b) Kan du vise at
Vis fasit
Dersom ein rasjonal funksjon skal ha ein horisontal asymptote, må vi finne ein verdi som funksjonen går mot når
Vi ser at vi her ikkje finn nokon fast verdi, altså har ikkje funksjonen ein horisontal asymptote.
c) Bruk polynomdivisjon til å vise at
Vis fasit
Sidan vi har
d) Teikn
Vis fasit
Vi ser at linja