Oppgåver og aktivitetar

Andre typar modellar og mønster

Oppgåve 3.3.60 og 3.3.61 gjer du utan hjelpemiddel, men resten oppgåvene kan du løyse med hjelpemiddel.

3.3.60

Vi har talrekkja $3 + 7 + 11 + 15 + . . .$

a) Kva mønster følgjer denne talrekkja? Kva blir dei to neste ledda?

Løysing

Differansen mellom kvart ledd er 4. Dei to neste ledda blir 19 og 23.

b) Vis at ledd nummer $n$ i talrekkja er gitt ved formelen $a_{n} = 4 n - 1$ .

Løysing

Vi kan setje opp tala i eit mønster.

Tal nummer 1: $3 = 4 \cdot 1 - 1$

Tal nummer 2: $7 = 4 \cdot 2 - 1$

Tal nummer 3: $1 = 4 \cdot 3 - 1$

Tal nummer 4: $15 = 4 \cdot 4 - 1$

For å finne tal nummer 4 ser vi at vi må multiplisere 4 med 4 og trekkje frå 1. På same måte finn vi tal nummer $n$ ved å multiplisere $n$ med 4 og trekkje frå 1.

3.3.61

Vi har talrekkja $2 + 4 + 8 + 16 + . . .$

a) Kva mønster følgjer denne talrekkja? Kva blir dei to neste ledda?

Løysing

Kvart ledd blir multiplisert med 2 for å finne det neste leddet i rekkja. Dei neste to ledda blir 32 og 64.

b) Vis at ledd nummer $n$ i talrekkja er gitt ved formelen $a_{n} = 2^{n}$ .

Løysing

Vi kan setje opp tala i eit mønster.

Tal nummer 1: $2 = 2^{1}$

Tal nummer 2: $4 = 2 \cdot 2 = 2^{2}$

Tal nummer 3: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3}$

Tal nummer 4: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4}$

Vi ser at for kvart nytt ledd i talrekkja må vi multiplisere med 2. Tal nummer $n$ får vi ved å multiplisere $n$ talet på 2-tal med kvarandre, som er det same som $2^{n}$ .

3.3.62

Retangeltal R1, R2, R3. Illustrasjon. — Retangeltal

Rektangeltala kan framstillast slik figuren viser.

Vi kallar det første rektangeltalet $R_{1} = 2$ , det neste rektangeltalet kallar vi $R_{2} = 6$ , det tredje rektangeltalet kallar vi $R_{3} = 12$ og så vidare.

a) Forklar kva vi gjer for å kome frå ein figur til den neste. Kva er mønsteret i det vi gjer?

Løysing

For å kome frå eit tal til det neste, legg vi til ein kolonne og ei rad.

b) Forklar at det fjerde rektangeltalet inneheld 20 prikkar.

Løysing

Det aukar med éi rad og éin kolonne for kvart tal. Det fjerde rektangeltalet har dermed 4 rader og 5 kolonnar.

Talet blir dermed $R_{4} = 4 \cdot 5 = 20$ .

c) Gitt tabellen nedanfor.

Rektangeltal nummer	1	2	3	4	5	6	8
Mengde prikkar	2	6	12	20	30	42	72

Plott punkta i eit koordinatsystem, og finn ein matematisk modell som beskriv talet på prikkar i rektangeltala. La $x$ vere nummeret på rektangeltalet, og la $P (x)$ vere talet på prikkar i talet.

Løysing

Vi skriv tala inn i reknearkdelen i GeoGebra og bruker regresjonsverktøyet. Ved å prøve med ulike regresjonstypar får vi at andregradsfunksjonen

$P (x) = x^{2} + x$

passar heilt perfekt med verdiane i tabellen.

Grafen til funksjonen P av x er lik x i andre pluss x er teikna for x-verdiar mellom 0 og 8. I tillegg er punkta frå tabellen i oppgåva plotta inn. Skjermutklipp. — Samanhengen mellom rektangeltalnummer og talet på prikkar i rektangeltalet

3.3.63

Vinkelsummen i ein trekant er 180°, i ein firkant er vinkelsummen 360°, og i ein femkant er vinkelsummen 540°.

a) Lag ein formel som viser vinkelsummen i ein mangekant med n sider.

Løysing

Vi ser at vinkelsummen aukar med 180° frå trekant til firkant og frå firkant til femkant. Vi får vidare at

vinkelsummen til ein trekant er $180 ° = 1 \cdot 180 °$
vinkelsummen til ein firkant er $360 ° = 2 \cdot 180 °$
vinkelsummen til ein femkant er $540 ° = 3 \cdot 180 °$

Vi får at vi må multiplisere 180° med eit tal som er 2 mindre enn talet på kantar i mangekanten. Formelen for vinkelsummen $V$ i ein $n$ -kant blir derfor

$V = (n - 2) \cdot 180 °$

I ein regulær mangekant er vinklane like store. Til dømes er vinklane i ein regulær trekant 60°, i ein regulær firkant er vinklane 90°, og i ein regulær femkant er vinklane 108°.

b) Finn eit uttrykk som viser vinkelen i ein regulær femkant og ein regulær sjukant. Kan du tenkje deg kva som kan vere ein formel for vinkelen i ein regulær $n$ -kant?

Løysing

Figuren viser ein regulær femkant der det i tillegg går linjestykke frå kvart hjørne til sentrum i femkanten. Vinklane mellom ein sidekant og eit linjestykke er kalla u, og vinkelen mellom to nabo-linjestykke er kalla w. Illustrasjon.

Vi kallar vinkelen i ein regulær femkant for $v$ . Ein regulær femkant består av 5 heilt like (kongruente) likebeinte trekantar. I kvar trekant er $u + u + w = 2 u + w = 180 °$ . Er du einig i at $v = 2 u$ ? Då kan vi skrive

$\begin{array}{rcl} v + w & = & 180 ° \\ v & = & 180 ° - w \end{array}$

Dersom vi ser på sentrum i femkanten, har vi òg at $5 w = 360 °$ . Dette gir

$w = \frac{360 °}{5}$

Set vi dette inn i likninga over, får vi at

$v = 180 ° - \frac{360 °}{5}$

Vi kan rekne ut svaret til 108°, men her er poenget å kome fram til ein formel.

Dersom vi gjer det same som over med ein regulær sjukant, får vi at

$v = 180 ° - \frac{360 °}{7}$

Vi får derfor at vinkelen $v$ i ein regulær $n$ -kant blir

$v = 180 ° - \frac{360 °}{n}$

3.3.64

Samanhengen mellom temperatur målt i fahrenheit, $F$ , og celsius, $C$ , er gitt ved formelen

$F = 1, 8 C + 32$

a) Kor mange grader fahrenheit har vi når vi har 0 grader celsius?

Løysing

$F = 1, 8 C + 32 = 1, 8 \cdot 0 + 32 = 32$

Vi har 32 grader fahrenheit ved 0 grader celsius.

b) Løys formelen med omsyn på $C$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} F & = & 1, 8 C + 32 \\ 1, 8 C & = & F - 32 \\ C & = & \frac{F - 32}{1, 8} \end{array}$

c) Kor mange grader celsius har vi når temperaturen er 65 grader fahrenheit?

Løysing

$\begin{array}{rcl} C & = & \frac{F - 32}{1, 8} \\ = & \frac{65 - 32}{1, 8} = \frac{33}{1, 8} = 18, 33 \end{array}$

Ved 65 grader fahrenheit har vi godt og vel 18 grader celsius.

3.3.65

Skriv opp alle oddetala til og med 29. Det første talet er 1. Kva er summen av dei to neste oddetala? Kva er summen av dei tre neste? Hald fram etter det same mønsteret. Ser du noko mønster i summane du får?

$\underset{1}{\underset{︸}{1}} \underset{8}{\underset{︸}{3 5}} \underset{?}{\underset{︸}{7 9 11}} 13 . . .$

Løysing

$\begin{matrix} n & a^{n} & a^{n} & a^{n} \\ 1 & 1 & 1 & 1^{3} \\ 2 & 3 + 5 & 8 & 2^{3} \\ 3 & 7 + 9 + 11 & 27 & 3^{3} \\ 4 & 13 + 15 + 17 + 19 & 64 & 4^{3} \\ 5 & 21 + 23 + 25 + 27 + 29 & 125 & 5^{3} \end{matrix}$

Summane utgjer kubikktala, $n^{3}$ .

3.3.66 Bytur i Kristiansand

Figur med flere kvadrat. Seks kvadrat i midten er grøne. Rundt desse seks grøne kvadrata er det ei ramme på fjorten kvite kvadrat. Punkt A ligg øvst til venstre der hjørna på eit kvitt hjørnekvadrat og eit grønt hjørnekvadrat møtest. Punkt B ligg nede til høgre der hjørna på eit kvitt hjørnekvadrat og eit grønt hjørnekvadrat møtest. Punkt A og B er merkte med blått. Illustrasjon. — Kvadraturen

Gatebiletet i sentrum av Kristiansand, kvadraturen, er regelmessig bygd opp med rette gater der gater som kryssar kvarandre dannar vinklar på omtrent 90 grader. "Kvartala", områda avgrensa av gater, har tilnærma form av rektangel.

Vi tenkjer oss no byen endå meir regelmessig slik at alle "kvartala" har ei kvadratisk grunnflate.

Tenk deg at du skal gå frå gatehjørne A til gatehjørne B.

a) Kor mange ulike "kortaste vegar" er det mellom A og B?

Løysing

Vi teiknar opp alle moglegheiter og finn av figuren nedanfor at det er 10 ulike "kortaste vegar".

Figur samansett av 10 ulike figurar som kvar viser 6 kvadrat sett saman i mønster 2 gongar 3 og ulike måtar å kome frå øvste venstre hjørne til nedste høgre hjørne på om ein går langs sidekantane på kvadrata. Illustrasjon.

Det er seks "kvartal" (grøne kvadrat) i rektangelet som blir danna av gatehjørna A og B, som er start- og sluttpunkta for turen.

b) Er det andre moglegheiter for forma til rektangelet som blir danna av gatehjørna A og B når det skal innehalde seks "kvartal"? Kor mange "kortaste vegar" får vi då? Lag teikningar som viser desse vegane.

Løysing

Figur som viser 6 grøne kvadrat sett saman etter kvarandre. Øvste venstre hjørne og nedste høgre hjørne er markerte. Illustrasjon.

Vi kan setje saman kvadrata etter kvarandre. Det blir no 7 "kortaste vegar".

Figur samansett av 7 ulike figurar som kvar viser 6 grøne kvadrat sett saman etter kvarandre og ulike måtar å kome frå øvste venstre hjørne til nedste høgre hjørne på når ein går langs sidekantane på kvadrata. Illustrasjon.

c) Prøv å finne talet på "kortaste vegar" når talet på "kvartal" som blir omgitte av gatehjørna A og B varierer frå 1 til 9. Skriv svara i ein tabell som den nedanfor, der vi har fylt ut svaret for 6 kvartal ut ifrå oppgåve a) til c). Finn du noko mønster i oppdagingane dine?

Talet på kvartal som blir omgitte	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Talet på kortaste vegar						7 og 10

Løysing

Talet på kvartal som blir omgitte	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Talet på kortaste veg	2	3	4	5 og 6	6	7 og 10	8	9 og 15	10 og 20

Når talet på kvartal som blir omgitte er primtal, er talet på kortaste vegar lik talet på kvartal pluss 1. Når talet på kvartal som blir omgitte er eit samansett tal, får vi fleire moglegheiter for talet på kortaste vegar.

d) Kan du seie noko om samanhengen mellom talet på kvartal som blir omgitte og forma på dei omgivande kvartala?

Løysing

Når talet på kvartal som blir omgitte, er primtal, blir forma ein lang "tarm". Når talet på kvartal som blir omgitte kan faktoriserast, får vi fleire moglegheiter. Måten tala kan faktoriserast på, gir forma. Når vi har 6 kvartal som ovanfor, får vi to moglegheiter sidan 6 kan faktoriserast på 2 måtar, $6 = 6 \cdot 1$ og $6 = 2 \cdot 3$ .

e) Det viser seg at tala i Pascals taltrekant fortel kor mange "kortaste vegar" som leier frå toppen og fram til eit kryssingspunkt i taltrekanten. Studer taltrekanten nedanfor, og sjå at dette stemmer med resultata dine.

Pascal sin taltrekant. Den første rada inneheld talet 1. Den neste rada inneheld to eittal. Talet på tal aukar med 1 for kvar rad nedover. Det første og det siste talet i ei rad er alltid 1. Eit tal inne i trekanten er lik summen av dei to nærmaste tala i rada over. Illustrasjon.

Løysing

I trekanten er det markert for dei tilfella at talet på kvartal som blir omgitte, er 6. Talet 6 kan faktoriserast i $6 \cdot 1$ og $2 \cdot 3$ . Når vi legg inn desse to rektangla i trekanten med det eine hjørnet i toppunktet, ser vi at hjørnet i dei diagonale punkta nettopp gir tala 7 og 10. Ser du at det stemmer for dei andre resultata òg?

f) Utvid Pascals taltrekant (eller finn ein variant som er stor nok på internett), og finn ut kor mange former 12 kvartal kan danne, og kor mange ulike "kortaste vegar" dei enkelte har.

Løysing

Vi får 3 ulike former, $12 = 12 \cdot 1 = 6 \cdot 2 = 4 \cdot 3$ , med høvesvis 13, 28 og 35 kortaste veg.

g) Utvid Pascals taltrekant, og finn ut kor mange former 24 kvartal kan danne, og kor mange ulike "kortaste vegar" dei enkelte har.

Løysing

Det blir 4 ulike former, $24 = 24 \cdot 1 = 12 \cdot 2 = 8 \cdot 3 = 6 \cdot 4$ , med høvesvis 25, 91, 165 og 210 kortaste veg.

3.3.67

Nedanfor ser du fire figurar som består av prikkar. I figur 1 er det 1 prikk. I figur 2 er det 3 prikkar. I figur 3 er det 6 prikkar, og i figur 4 er det 10 prikkar.

Biletet viser dei fire første figurtala som punkt i eit rutenett. Skjermutklipp. — Figurtal

a) Kva slags geometriske former har desse figurane?

Løysing

Prikkane i kvar figur (bortsett frå figur 1) dannar ein trekant.

b) Kan du halde fram og lage figur 5, 6, 7 og 8 etter det same mønsteret?

Delvis løysing

Figur 5 vil ha 5 prikkar i høgda og i breidda. Figur 6 vil ha 6 prikkar i høgda og i breidda og så vidare.

Talet på prikkar i figurane kallar vi for trekanttal. Vi skriv $t_{1} = 1, t_{2} = 3, t_{3} = 6$ og så vidare.

c) Kan du forklare kvifor vi kan skrive

$\begin{array}{rcl} t_{1} & = & 1 \\ t_{2} & = & 1 + 2 = 3 \\ t_{3} & = & 1 + 2 + 3 = 6 \\ t_{4} & = & 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \end{array}$

og generelt

$t_{n} = 1 + 2 + 3 + . . . + n$ ?

Løysing

Formelen blir slik fordi i kvar ny figur aukar vi talet på prikkar med nummeret på figuren.

d) Fyll ut tabellen. Finn du igjen nokon av talkolonnane i Pascals taltrekant? Kva slags tal får du i kolonnen til høgre?

n	t_n	t_n+₁	t_n + t_n+₁
1
2
3
4
5
6
7

Løysing

n	t_n	t_n+₁	t_n + t_n+₁
1	1	3	4 = 2²
2	3	6	9 = 3²
3	6	10	16 = 4²
4	10	15	25 = 5²
5	15	21	36 = 6²
6	21	28	49 = 7²
7	28	36	64 = 8²

Talkolonnane $n$ og $t_{n}$ (og dermed $t_{n + 1}$ ) finn vi igjen i taltrekanten. Vi får kvadrattala i kolonnen til høgre.

e) Kan du finne ein formel eller ein matematisk modell for talet på prikkar i figur nummer $n$ ?

Tips til oppgåva

Tenk deg at du set to like figurar, til dømes figur 4, oppå kvarandre.

Løysing

Figuren består av to figurar som kvar er ein modell av trekanttal nummer 4. Figurane er sett oppå kvarandre slik at dei dannar eit rektangel med totalt 20 prikkar der prikkane som høyrer til kvar sin trekanttalfigur har kvar sin farge. Illustrasjon.

Dersom vi set to like figurar oppå kvarandre slik som biletet viser, får vi eit rektangel der breidda er lik figurnummeret (her: 4), og høgda er éin større enn figurnummeret. Då har vi altså dobbelt så mange prikkar som figurtalet, så vi kan rekne ut talet på prikkar i figurtal nummer 4 (og dermed trekanttal nummer 4) som

$t_{4} = \frac{5 \cdot 4}{2} (= 10)$

Mengda prikkar i figurtal nummer $n$ , og dermed formelen for trekanttal nummer $n$ , blir

$t_{n} = \frac{(n + 1) \cdot n}{2}$

f) Set saman to nabofigurar. Kva slags figur får du? Ser du nokon samanheng med den høgre kolonnen du fekk i oppgåve d)?

Løysing

Figuren består av to figurar der den eine er ein modell av trekanttal nummer 5, og den andre er ein modell av trekanttal nummer 4. Figurane er sett oppå kvarandre slik at dei dannar eit kvadrat med totalt 25 prikkar der prikkane som høyrer til kvar sin trekanttalfigur har kvar sin farge. Illustrasjon.

Til dømes dannar figurane 5 og 4 eit kvadrat. Summen av alle para av nabofigurar dannar alltid eit kvadrat. Derfor får vi òg kvadrattala i kolonnen til høgre i oppgåve d).

g) Bruk formelen for trekanttala, og vis at når du legg saman to nabotrekanttal, får du alltid eit kvadrattal. (Dette er ei 1T-oppgåve.)

Tips til oppgåva

Bruk formelen og legg saman trekanttal $t_{n}$ og $t_{n + 1}$ . Du finn formelen for trekanttal nummer $n + 1$ ved å erstatte $n$ med $n + 1$ i formelen.

Løysing

$\begin{array}{rcl} t_{n} + t_{n + 1} & = & \frac{(n + 1) \cdot n}{2} + \frac{((n + 1) + 1) \cdot (n + 1)}{2} \\ = & \frac{(n + 1) \cdot n + (n + 2) \cdot (n + 1)}{2} \\ = & \frac{n^{2} + n + n^{2} + n + 2 n + 2}{2} \\ = & \frac{2 n^{2} + 4 n + 2}{2} \\ = & \frac{2 (n^{2} + 2 n + 1)}{2} \\ = & n^{2} + 2 n + 1 \\ = & {(n + 1)}^{2} \end{array}$

Summen blir altså eit kvadrattal uansett kva $n$ er.

3.3.68

Tenk deg at ein av forfedrane dine i år 1900 sette inn 100 kroner i banken. Han fekk ein avtale med banksjefen om ei garantert årleg rente på 10 prosent. Forfaren din døydde, og no viser det seg at du er den heldige arvingen til bankkontoen.

a) Lag ein matematisk modell for korleis pengane har vakse i banken når vi går ut frå at renta heile tida er 10 prosent. La $x$ stå for talet på år etter 1900.

Løysing

Dette er prosentvis eller eksponentiell vekst. Vekstfaktoren ved 10 prosent auke er 1,1. Startsummen er 100 kroner. Ein modell for beløpet på kontoen etter $x$ år blir derfor

$f (x) = 100 \cdot 1, 1^{x}$

b) Vis eit grafisk bilete av modellen. Kva er beløpet på kontoen i år 2021?

Løysing

Vi skriv inn funksjonen i algebrafeltet i GeoGebra og skriv inn punktet (121, f(121)).

Grafen til funksjonen f av x er lik 100 multiplisert med 1,1 opphøgd i x er teikna for x-verdiar mellom 0 og 122. Eit punkt på grafen er markert og har koordinatane 121 og 10197997,57. Skjermutklipp. — Vekst av 100 kroner sett inn år 1900 til rente på 10 prosent

I 2021 står det litt over 10 millionar på kontoen.

c) Du lèt vere å bruke pengane i dag og vel i staden å la pengane stå på kontoen til du nærmar deg pensjonsalderen. Kva står på kontoen i år 2068?

Løysing

År 2068 vil seie at $x = 168$ . Vi skriv inn punktet (168, f(168)).

Grafen til funksjonen f av x er lik 100 multiplisert med 1,1 opphøgd i x er teikna for x-verdiar mellom 0 og 170. Eit punkt på grafen er markert og har koordinatane 121 og 10197997,57. Eit anna punkt på grafen er markert og har koordinatane 168 og 899437740,35. Skjermutklipp. — Vekst av 100 kroner sett inn år 1900 til rente på 10 prosent

Dei 100 kronene sett inn i 1900 vil ha vakse til omtrent 900 millionar kroner i året 2068. Merk at tala på $y$ -aksen er så store at dei blir skrivne på standardform.

d) Albert Einstein sa ein gong "Renters rente-effekten er den sterkaste krafta vi kjenner". Kva meinte Einstein med det?

Løysing

Albert Einstein hadde sett at når ting veks eksponentielt, som til dømes med pengar i banken, så er veksten lenge relativt liten, men når veksten først tek til, så "eksploderer" han.

Sjå på grafen i den førre oppgåva. Det er ikkje mykje bankinnskotet har vakse dei første hundre åra, men sjå på dei neste hundre åra.

3.3.69

Flytt på 2 piler (fyrstikker) og få 4 like kvadrat. Alle pilene skal brukast. Kvar pil utgjer éi side i eit kvadrat.

Ruteark med piler som utgjer fem kvadrat. Tre kvadrat står på den øvste rada i rutearket, og det tredje kvadratet deler side med eit kvadrat på rada under. Dette kvadratet igjen deler side med eit kvadrat til høgre på den same linja. Illustrasjon.

3.3.70

Gul fotball med blå himmel som bakgrunn. Foto.

Formelen $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ viser samanhengen mellom radius til ei kule og volumet av kula.

a) Lag ein plan for korleis du kan bruke denne modellen for å finne radius til ein fotball.

Tips til oppgåva

Kva skjer når du har eit kar med vatn og pressar ballen under vatn?

b) Få tak i ein fotball og utfør planen.

3.3.71

Ein modell for svingetida til ein pendel er $T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}$ der $T$ er svingetida, $l$ er snorlengda og $g$ er akselerasjonen til tyngda, som har verdien $9, 81 m / s^{2}$ .

a) Lag deg ein pendel av eit lodd eller liknande. Mål svingetida for pendelen for varierande snorlengder. Lag ein modell for svingetida $T$ som funksjon av snorlengda $l$ .

Tips til oppgåva

Her er det lurt å bruke regresjon med GeoGebra. Kva slags regresjonstype passar best? Kva slags type funksjon er modellen øvst i oppgåva?

b) Samanlikn modellen din med denne modellen. Kva finn du?

c) Kor lang må snorlengda vere for at du på ein enkel måte kan bruke pendelen til å telje sekund?

d) Kanskje har nokon i familien din eit pendelur heime. I så tilfelle, undersøk korleis du kan stille dette uret til å gå riktig.

3.3.72

Tre kolonner med sju tilfeldige kort fra en kortstokk i hver kolonne. Illustrasjon.

Ein kortkunst: Ta ut 21 kort frå ein kortstokk. Fordel desse korta i tre kolonnar med sju kort i kvar kolonne. La korta liggje med biletsida opp, og la dei ikkje overlappe meir enn at det er mogleg å sjå kva kort som ligg i kvar kolonne. Be ein venn om å velje ut og tenkje på eitt bestemt kort og fortelje deg i kva kolonne dette kortet ligg.

Så samlar du inn korta, kolonne for kolonne, men du passar på å leggje kolonnen med det valde kortet i midten.

Så legg du ut korta igjen i tre kolonnar, men slik at dei tre øvste korta blir dei første korta i kvar kolonne, dei tre neste korta blir kort nummer to i kvar kolonne og så vidare.

Du ber så vennen din fortelje i kva kolonne det valde kortet no ligg.

Du gjentek prosedyren beskriven ovanfor og ber vennen din for tredje gong fortelje i kva kolonne det valde kortet ligg.

Så samlar du inn korta, kolonne for kolonne, og du passar igjen på å leggje kolonnen med det valde kortet i midten.

No vil alltid det valde kortet liggje som nummer elleve i bunken!

Du kan no, på ein kreativ og mystisk måte, fortelje vennen din kva kort ho har valt.

Oppgåva di

Kvifor er det slik at det valde kortet alltid vil hamne på plass nummer elleve?

Rutenett som viser ni ruter, tre vassrett og tre loddrett. Illustrasjon. — Magisk kvadrat

3.3.73 Magisk kvadrat

Klarer du å skrive inn kvart av tala 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 i kvar si rute slik at når du summerer tala i tre ruter, anten vassrett, loddrett eller diagonalt, så blir summen alltid den same?

Aktuelle eksamensoppgåver på NDLA

Eksamen 2P våren 2015 del 2: oppgåve 4
Eksamen 2P hausten 2014 del 2: oppgåve 4
Eksamen 2P våren 2014 del 2: oppgåve 6
Eksamen 2P hausten 2012 del 1: oppgåve 9
Eksamen 2P hausten 2012 del 2: oppgåve 7

CC BY-SASkrive av Olav Kristensen, Stein Aanensen og Bjarne Skurdal.

Sist fagleg oppdatert 24.02.2021

Andre typar modellar og mønster

3.3.60

3.3.61

3.3.62

3.3.63

3.3.64

3.3.65

3.3.66 Bytur i Kristiansand

3.3.67

3.3.68

3.3.69

3.3.70

3.3.71

3.3.72

Oppgåva di

3.3.73 Magisk kvadrat

Aktuelle eksamensoppgåver på NDLA

Reglar for bruk