Nullpunkt, toppunkt, botnpunkt og symmetrilinje
Vi teiknar grafen til funksjonen i GeoGebra og finn nullpunkta med kommandoen «Nullpunkt[f]».
Grafen har eit botnpunkt, sidan andregradsleddet er positivt. Vi finn botnpunktet med kommandoen «Ekstremalpunkt[f]». Grafen har botnpunkt .
I koordinatsystemet har vi teikna inn symmetrilinja til , linja .
Vi ser at botnpunktet ligg på symmetrilinja. Symmetrilinja ligg også like langt frå kvart av parabelen sine nullpunkt.
Vi har sett at vi kan finne parabelen sine nullpunkt ved å løyse likninga .
Dersom vi stanser der, ser vi at .
Dei to nullpunkta ligg like langt frå parabelen si symmetrilinje!
Det tyder at dei to nullpunkta ligg like langt frå linja , og denne linja er altså parabelen si symmetrilinje.
Generelt er nullpunkta gitt ved
Det betyr at vi kan finne symmetrilinja og -koordinaten til topp- eller botnpunktet ved å «fjerne» kvadratrota i uttrykket vi får når vi set .
Gitt andregradsfunksjonen
Vi finn nullpunkta ved å løyse likninga . Det gir
Vi finn symmetrilinja og x-koordinaten til topp- eller botnpunktet ved
Det betyr at vi kan finne mykje informasjon om grafen til ein andregradsfunksjon ved enkel rekning utan å bruke digitale hjelpemiddel.
Gitt funksjonen . Finn nullpunkta til funksjonen.
Funksjonen har nullpunkt for og for .
Symmetrilinja er gitt ved
Vi ser at dette er -verdien midt mellom .
Grafen har eit toppunkt, sidan andregradsleddet er negativt.
Toppunktet har koordinatane
Gitt funksjonen . Finn eventuelle nullpunkt til funksjonen.
Nullpunktet er .
Vi får berre eitt nullpunkt, sidan uttrykket under kvadratrota blir lik null.
Symmetrilinja er gitt ved
.
Grafen har eit botnpunkt, sidan andregradsleddet er positivt. Nullpunktet fell saman med botnpunktet og ligg på symmetrilinja.
Vi veit at . Botnpunktet har koordinatane .
Gitt funksjonen .
Finn eventuelle nullpunkt til funksjonen.
Vi får eit negativt tal under rotteiknet. Likninga har inga løysing. Det tyder at funksjonen ikkje har nullpunkt, og grafen av funksjonen kryssar aldri -aksen.
Sidan konstantleddet , veit vi at grafen skjer -aksen i punktet . Dette punktet ligg over -aksen. Grafen ligg då over -aksen for alle verdiar av .
Vi finn symmetrilinja ved
.
Grafen har eit botnpunkt, sidan andregradsleddet er positivt.
Botnpunktet har koordinatane .