Å finne nullpunkta til ein funksjon er ikkje alltid like lett (utan GeoGebra). Kan vi lage eit program sjølve som kan hjelpe oss med dette? Først må vi sjå korleis vi kan bruke halveringsmetoden manuelt til dette.
Denne sida er laga med inspirasjon frå eit undervisningsopplegg av Tom Jarle Christiansen og Rune Mathisen.
Innleiing
På biletet ovanfor har vi brukt nullpunktsverktøyet i GeoGebra til å finne dei tre nullpunkta til funksjonen
For nullpunktet lengst til høgre er ein tilnærma verdi. Når vi skal lage eit program til å finne ein tilnærma verdi for eit nullpunkt, må vi finne ein måte å prøve og feile på der vi veit at vi systematisk kjem nærare og nærare det rette svaret.
Diskuter
Kva kjenneteiknar eit nullpunkt sett bort ifrå at for denne verdien?
Kommentar
For dei fleste nullpunkt er det anten slik at grafen ligg under -aksen til venstre for nullpunktet og over grafen til høgre for nullpunktet, eller det er motsett. Det første gjeld for nullpunktet lengst til høgre over, mens det andre gjeld for nullpunktet i midten. Dette betyr òg at grafen er stigande i eit område rundt nullpunktet til høgre og søkkande i eit område rundt nullpunktet i midten.
Spørsmål
Gjeld regelen ovanfor for alle nullpunkt?
Svar
Dessverre gjeld ikkje regelen for alle nullpunkt. Tenk på funksjonen
Der veit vi at funksjonen har eitt nullpunkt for , men funksjonen kan aldri bli negativ sidan han er eit kvadrat. Regelen gjeld ikkje fordi nullpunktet samtidig er eit ekstremalpunkt. Funksjonen har eit botnpunkt for .
I den vidare utgreiinga ser vi bort ifrå slike nullpunkt.
Ideen her er å bruke at grafen anten ligg over -aksen til høgre for nullpunktet og under grafen til venstre for nullpunktet, eller det er motsett.
Spørsmål
Korleis kan vi finne ut om grafen ligg over eller under -aksen for ein bestemd -verdi?
Svar
Vi kan rekne ut funksjonsverdien for denne -verdien og sjå om verdien er positiv eller negativ. Er verdien positiv, veit vi at grafen ligg over -aksen for denne -verdien.
Manuell bruk av halveringsmetoden
Vi skal bruke halveringsmetoden til å gjette oss fram til nullpunktet til som ligg lengst til høgre. Vi gjer det manuelt no i første omgang.
I halveringsmetoden må vi først ha eit intervall som det "rette talet" ligg i. Her betyr det at vi må finne eit intervall for som vi er sikre på at nullpunktet ligg innanfor. Dessutan må grafen til funksjonen liggje over -aksen for det eine endepunktet av intervallet og omvendt for det andre endepunktet.
Oppgåve
Kva er eit passande intervall som oppfyller krava over til nullpunktet lengst til høgre?
Løysingsforslag
Nullpunktet må liggje i intervallet [1.5, 2].
Kommentar: Dette er ikkje det einaste rette svaret. Vi er vel òg heilt sikre på at nullpunktet ligg i intervallet [1.5, 1.9], til dømes, men i oppgåvene nedanfor bruker vi [1.5, 2] som startintervall.
Oppgåve
Når vi bruker halveringsmetoden, gjettar vi alltid på den verdien som ligg midt i det aktuelle intervallet, det vi kallar midtpunktet til intervallet.
Kva for ein -verdi gjettar vi på når intervallet er [1.5, 2]? Korleis kan vi rekne ut denne verdien?
Løysing
Talet som er midt i mellom 1.5 og 2, er 1,75. Det kan vi rekne oss fram til ved å finne gjennomsnittet (middelverdien) av dei to tala.
Spørsmål
Korleis finn vi ut om er større eller mindre enn nullpunktet?
Svar
Vi må finne ut om grafen ligg over eller under -aksen for . Ein annan måte å seie det på er at vi må sjekke om eller om . Vi må altså rekne ut .
Vi kan bruke CAS i GeoGebra til å rekne ut .
Sidan svaret på linje 2 i CAS vart 0,57, veit vi at grafen ligg over x-aksen når x=1,75. Då veit vi samtidig at vi er til høgre for nullpunktet ved denne x-verdien.
Spørsmål
Kva blir det nye intervallet vi skal leite etter nullpunktet i?
Svar
Det nye intervallet vi skal leite etter nullpunktet i, blir [1.5, 1.75]. (Nullpunktet kan ikkje vere større enn 1,75.)
Spørsmål
Kva blir den nye x-verdien vi gjettar på?
Svar
Den nye x-verdien vi gjettar på, blir
1,5+1,752=3,252=1,625
Spørsmål
Er x=1,625 større eller mindre enn nullpunktet?
Svar
Vi bruker CAS att og får
f1.6253≈0.126
Det betyr at vi framleis ligg til høgre for det verkelege nullpunktet.
Oppgåve
Skriv ein algoritme for korleis vi går fram når vi bruker halveringsmetoden her.
Løysingsforslag
Vi reknar ut midtpunktet i intervallet.
Vi reknar ut funksjonsverdien til midtpunktet.
Dersom funksjonsverdien er mindre enn null, set vi midtpunktet til å vere den nye nedre grensa for intervallet.
Dersom funksjonsverdien er større enn null, set vi midtpunktet til å vere den nye øvre grensa for intervallet.
Oppgåve
Til no har vi gjort halveringsmetoden manuelt to gonger. Gjer halveringsmetoden éin gong til manuelt.
Løysingsforslag
Vi får at
det nye intervallet blir [1.5, 1.625]
midtpunktet blir 1.5+1.62524≈1.5625
den nye funksjonsverdien blir f$45≈-0.07023
I den siste utrekninga har vi brukt koden "$4" som betyr "svaret på linje 4", som altså er 1,5625. Den siste utrekninga viser at grafen for x=1,5625 ligg under x-aksen.
Spørsmål
Dersom vi skulle ha brukt halveringsmetoden éin gong til, kva ville det nye intervallet ha vore då?
Svar
Sidan grafen ligg under x-aksen for den siste x-verdien vi kom fram til, må vi no byte ut den nedre grensa i intervallet. Dersom vi skulle ha brukt halveringsmetoden endå ein gong, ville intervallet no ha vore [1.5625, 1.625].
Dersom vi rundar av til éin desimal, får vi no det same resultatet for både den øvre og den nedre grensa i intervallet: 1,6. Dette stemmer med opplysningane på biletet øvst på sida der nullpunktet er oppgitt som x=1,6. Det neste spørsmålet er: Kor mange gonger skal vi bruke halveringsmetoden før vi er nøgde med resultatet? Når er det bra nok? Uansett vil vi ikkje gjere dette manuelt lenger, men lage eit program som kan hjelpe oss.