Programmering av nullpunkt med halveringsmetoden

På sida "Nullpunkt med manuell bruk av halveringsmetoden" startar vi med [1.5, 2] som intervall for nullpunktet. Så gjettar vi på gjennomsnittsverdien 1,75. I staden for å sjå om grafen er over eller under $$ x$$-aksen for denne verdien, kan vi sjå om grafen ligg på den same sida av $x$-aksen for denne verdien som for eitt av endepunkta for intervallet, til dømes det venstre, som er 1,5.

Prøv å forklare korleis du kan bruke forteiknet til produktet $$ f(1,5)·f(1,75)$$ til å finne ut om 1,75 er større eller mindre enn nullpunktet – utan å vite om funksjonen er stigande eller søkkande rundt nullpunktet.

Prøv å overtyde deg sjølv om at produktet av $$ f(1,5)·f(1,75)$$ er større enn null dersom 1,75 er mindre enn nullpunktet og mindre enn null dersom 1,75 er større enn nullpunktet.

Forsøk på forklaring:

• Det nedre endepunktet 1.5 for intervallet er alltid mindre enn det verkelege nullpunktet.
• Dersom 1,75 er mindre enn nullpunktet, ligg 1,75 på den same sida av nullpunktet som 1.5. Då vil grafen til funksjonen for desse to verdiane liggje på den same sida av $x$-aksen. Anten ligg grafen over $x$-aksen for begge desse verdiane eller under for begge.
• Funksjonsverdiane $$ f(1,5)$$ og $$ f(1,75)$$ vil derfor ha det same forteiknet. Multipliserer vi desse to funksjonsverdiane, vil produktet alltid bli positivt, men berre dersom dei to verdiane 1,5 og 1,75 ligg på den same sida av nullpunktet.
• Dersom 1,75 er større enn det verkelege nullpunktet (slik det er i tilfellet vårt), vil produktet av desse to funksjonsverdiane alltid bli negativt sidan den eine vil vere negativ og den andre positiv fordi dei ligg på kvar si side av nullpunktet.

Nedanfor har vi sjekka dette med CAS i GeoGebra:

$$ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \text{f}\left(\text{x}\right):=\frac{1}{3}{\text{x}}^3+\frac{1}{2}{\text{x}}^2-\text{x}-1\\ \overline{)1}& & \\ & & \to \text{f}\left(\text{x}\right):=\frac{1}{3}{\text{x}}^3+\frac{1}{2}{\text{x}}^2-\text{x}-1\end{array}}$ $ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \text{f}\left(1.5\right)\text{·f}\left(1.75\right)\\ \overline{)2}& & \\ & & \approx -0.14\end{array}}$$$$

Algoritme til den eigendefinerte funksjonen $$ \text{f}$$:

• Ta imot ein x-verdi.
• Rekn ut følgjande: $$ \frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-x-1$$
• Returner svaret.

Algoritme til programmet

• Skriv til skjermen "Dette programmet finn ein tilnærma verdi for eit nullpunkt som ligg i eit bestemt intervall.".
• Skriv til skjermen "Skriv inn nedre grense i dette intervallet:".
• Ta imot verdien frå brukaren, og lagre han i variabelen $$ \text{under}$$.
• Skriv til skjermen "Skriv inn øvre grense i dette intervallet:".
• Ta imot verdien frå brukaren, og lagre han i variabelen $$ \text{over}$$.

• Gjer 6 gonger:

  • Rekn ut midtpunktet av intervallet, og set resultatet lik variabelen $$ \text{x\_verdi}$$.
  • Dersom produktet av $$ \text{f}\left(\mathrm{under}\right)$$ og $$ \text{f(x\_verdi)}$$er mindre enn null, set $$ \text{x\_verdi}$$ som ny øvre grense for intervallet.
  • Dersom dette ikkje er oppfylt, set $$ \text{x\_verdi}$$ som ny nedre grense av intervallet.
• Skriv til skjermen "Nullpunktet er x = $$ \text{<x\_verdi>}$$.".

Dersom programmet gir feil svar, kan det lønne seg å leggje inn i koden ei utskrift av variabelen $$ \text{x\_verdi}$$ for kvar gong det skal halverast.

Med 4 desimalar gir GeoGebra svaret 1,5855 for nullpunktet lengst til høgre, mens programmet over gir 1,5859. Begge gir med dette svaret 1,586 om vi rundar av til tre desimalar. Det er nøyaktig nok – for dette nullpunktet. Det er ikkje sikkert det er nok for alle nullpunkt i alle funksjonar.

Programmet vårt løyser allereie ei likning, nemleg likninga

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& 0\\ \frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-x-1& =& 0\end{array}$$

Dersom vi i ei likning flyttar alt over på venstre side, står det "= 0" på høgre side. Då kan vi sjå på det som står på venstre side som funksjonen vår $$ f\left(x\right)$$ som vi skal finne nullpunkta til.

Test om programmet kan løyse ei "vanleg" likning som du kan finne på ei av sidene om likningar.

For å bestemme når det er gjort nok halveringar, kan du stoppe når skilnaden mellom nedre og øvre grense for intervallet blir mindre enn til dømes 0,0001.