Generelt om rasjonale funksjonar

Eksempel

Funksjonen $f$ gitt ved $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}$ er ein rasjonal funksjon.

Ein brøk er ikkje definert når nemnaren er lik null. Det betyr at $f(-2)$ ikkje eksisterer. Grafen har ikkje noko punkt for $x=-2$. Vi seier at grafen har eit brot for $x=-2$.

Vi teiknar grafen av $f$ i GeoGebra og skriv også inn kommandoen Asymptote[f].

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen, Bjarne Skurdal

Når $x$ nærmar seg verdien $-2$ frå venstre, kan det sjå ut som om funksjonsverdiane veks over alle grenser.

Det kan visast at dette er riktig. Funksjonsverdiane nærmar seg ikkje ein bestemt verdi når $x$ nærmar seg verdien $-2$ frå venstre, men blir uendeleg store.

Vi skriv

$f\left(x\right)\to \infty$ når $x\to -2^{-}$

Vi les "$f\left(x\right)$ går mot uendeleg når $x$ går mot $-2$ frå venstre".

Tilsvarande viser det seg at funksjonsverdiane søkk mot minus uendeleg når $x$ nærmar seg $-2$ frå høgre. Vi skriv

$f\left(x\right)\to -\infty$ når $x\to -2^{+}$

Legg merke til $+$ og $-$ som markerer om $x$ nærmar seg $-2$ frå venstre eller frå høgre.

Du kan undersøkje om dette er sannsynleg ved å setje inn verdiar for $x$ som er veldig nær $-2$.

Grafen av $f$ består av to delar, ein del til venstre for linja $x=-2$ og ein del til høgre for linja $x=-2$. Linja $x=-2$ kallar vi ein loddrett eller vertikal asymptote.

Det kan vidare visast at grafen «flatar ut» og nærmar seg linja $y=1$ når $x$ går mot pluss eller minus uendeleg. Det vil seie at funksjonsverdiane nærmar seg verdien $1$ som grenseverdi når $x$ går mot pluss eller minus uendeleg, men utan nokon gong å bli lik $1$.

Den eine delen av grafen nærmar seg linja ovanfrå og den andre delen nedanfrå. Dei to delane av grafen vil aldri krysse linja. Linja $y=1$ er ein vassrett eller horisontal asymptote.