Fagartikkel

Polynomfunksjonar

Ein polynomfunksjon er ein funksjon som har eit polynom som funksjonsuttrykk.

Definisjon

Eit polynom er eit uttrykk med eitt eller fleire ledd, der kvart ledd består av ein konstant multiplisert med $x^{n}$ , der $n$ er eit ikkje-negativt heiltal. Den høgaste eksponenten i uttrykket gir oss graden til polynomet. Uttrykket $x - 4 + 2 x^{3}$ er eit tredjegradspolynom fordi den høgaste eksponenten i uttrykket er 3.

Ein polynomfunksjon er ein funksjon som har eit polynom som funksjonsuttrykk.

Uttrykket $3 x + 3$ er eit polynom av første grad fordi $x$ er av første grad. Uttrykket $2 x^{2} - 2 x + 4$ er eit polynom av andre grad fordi vi her har eit ledd der $x$ er opphøgd i andre potens, og to er den høgaste eksponenten $x$ har. $x - 4 + 2 x^{3}$ er eit døme på eit tredjegradspolynom fordi den høgaste eksponenten av $x$ her er 3.

Det er vanleg å ordne eit polynom slik at leddet med den høgaste eksponenten kjem først, leddet med nest høgast eksponent kjem som nummer to og så vidare. Fjerdegradspolynomet $- 5 + 3 x^{3} - x^{2} + 7 x^{4}$ skriv vi på ordna form som $7 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 5$ . Tala framfor potensane av $x$ kallar vi koeffisientar. I dette fjerdegradspolynomet er koeffisienten framfor $x^{2}$ lik $- 1$ .

Lineære funksjonar og andregradsfunksjonar er polynomfunksjonar av høvesvis første og andre grad. Tredjegradsfunksjonar er polynomfunksjonar av tredje grad.

Generelt om tredjegradsfunksjonar

Vi teiknar grafen av tredjegradsfunksjonen $f$ gitt ved

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 1$

Tredjegradsfunksjonen f av x er lik ein tredels x i tredje pluss ein halv x i andre minus x minus 1 teikna i eit koordinatsystem og med markering av toppunktet, botnpunktet, nullpunkta og skjeringspunktet med andreaksen. Illustrasjon. — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-SA 4.0

Nullpunkt

Funksjonen har nullpunkta $x = - 2, 2, x = - 0, 8 og x = 1, 6$ .

Skjering med 𝑦-aksen

Grafen skjer $y$ -aksen for $x = 0$ . Skjeringspunktet er $(0, - 1)$ .

Topp- og botnpunkt

Grafen har toppunkt $(- 1.6, 0.5)$ .
Grafen har botnpunkt $(0.6, - 1.3)$ .

For andregradsfunksjonar sa vi at ein funksjon hadde sin lågaste verdi i botnpunktet og høgaste verdi i toppunktet. Ein tredjegradsfunksjon kan ha høgare verdiar enn i toppunktet andre stader på grafen. Vi seier likevel at grafen har eit toppunkt sjølv om det berre er lokalt.

Ekstremalpunkt

Du har sett at kommandoen i GeoGebra for å finne topp- eller botnpunkt er «Ekstremalpunkt[<Polynom>]».

I eksamensrettleiinga 2019 frå Utdanningsdirektoratet blir ekstremalpunkt definert som førstekoordinaten til eit topp- eller botnpunkt. Ekstremalverdi er andrekoordinaten til eit topp- eller botnpunkt.

Eit ekstremalpunkt er eit felles namn for maksimal- eller minimalpunkt.

Eit maksimalpunkt er førstekoordinaten til eit toppunkt. Andrekoordinaten blir kalla ein maksimalverdi.

Eit minimalpunkt er førstekoordinaten til eit botnpunkt. Andrekoordinaten blir kalla ein minimalverdi.

Video: Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

Kjelde

Utdanningsdirektoratet (2019). Eksamensrettleiing – om vurdering av eksamenssvar. 2019. Matematikk. Sentralt gitt skriftleg eksamen. Studieførebuande og yrkesfaglege utdanningsprogram. Kunnskapsløftet LK06. Oslo: Utdanningsdirektoratet.