Oppgåve

Kva for ein matematisk modell passar best?

Med regresjonsanalyseverktøyet kan vi lage mange ulike matematiske modellar. Her kan du utforske desse modellane.

3.3.80

Tabellen nedanfor viser folketalet i Noreg frå 1950 og utover.

Årstal	1950	1960	1970	1980	1990	2000	2005	2010	2015
Folketal (mill.)	3,2	3,6	3,9	4,1	4,2	4,5	4,6	4,9	5,2

På sida "Modell for folketalsutviklinga i Noreg" (sjå lenkje under Relatert innhald på denne sida) lagar vi ein lineær modell for folketalsutviklinga mellom 1950 og 2000, altså utan dei tre siste tala i tabellen over. Den rette linja som passar best med tala fram til og med år 2000, er

$g (x) = 0, 024 x + 3, 31$

når $x$ står for talet på år etter 1950.

a) Lag ein ny lineær modell $f$ som inkluderer tala for 2005, 2010 og 2015 i regresjonsanalysen. (Hugs å la $x$ stå for talet på år etter 1950.) Kommenter forskjellen i stigingstal mellom denne modellen og funksjonen $g$ .

Løysing

Vi lagar ei ny rad i tabellen for $x$ -verdiane.

Årstal	1950	1960	1970	1980	1990	2000	2005	2010	2015
x	0	10	20	30	40	50	55	60	65
Folketal (mill.)	3,2	3,6	3,9	4,1	4,2	4,5	4,6	4,9	5,2

Vi skriv inn tala i reknearkdelen i GeoGebra og vel verktøyet "Regresjonsanalyse" med valet "Lineær" som regresjonsmodell.

Til venstre i figuren er tala frå tabellen i oppgåva lagde inn i to kolonnar i reknearkdelen av programmet GeoGebra. Til høgre er regresjonsverktøyet vist med eit koordinatsystem med punkt teikna ut frå tala i reknearkdelen. Det er valt lineær regresjonsmodell, og den rette linja y er lik 0,0269 pluss 3,258 er teikna inn. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Den rette linja som passar best med alle tala, er

$f (x) = 0, 0269 x + 3, 258$

Stigingstalet blei større for $f$ enn for $g$ . Det har samanheng med at folketalet har stige raskare sidan år 2000 enn tidlegare år.

b) Finn andre matematiske modellar som kan vere aktuelle å bruke på folketalsutviklinga i Noreg sidan 1950.

Løysing

Aktuelle modellar kan vere polynomfunksjonar eller eksponentialfunksjonar.

Regresjonsmodell "Polynom med grad 2":

$f_{p 2} (x) = 0, 0001 x^{2} + 0, 021 x + 3, 31$

Koordinatsystemet i regresjonsverktøyet viser punkta i oppgåva og den andregradsfunksjonen som passar best med desse punkta. Andregradsfunksjonen er nesten rettlinja og krummar svakt oppover. Skjermutklipp. — Regresjon med andregradsfunksjon. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Her måtte vi skru på 4 desimalar i innstillingane til GeoGebra for å sjå kva koeffisienten føre andregradsleddet eigentleg var. Han er svært liten, og det ser vi òg av grafen, som nesten er rettlinja. Andregradsfunksjonen $f_{p 2}$ passar derfor ikkje noko særleg betre enn den rette linja $f$ .

Regresjonsmodell "Polynom med grad 3":

$f_{p 3} (x) = 0, 00002 x^{3} - 0, 0014 x^{2} + 0, 057 x + 3, 19$

Koordinatsystemet i regresjonsverktøyet viser punkta i oppgåva og den tredjegradsfunksjonen som passar best med desse punkta. Tredjegradsfunksjonen passar ganske bra med tala sidan veksten i folketalet først avtek og deretter stig. Skjermutklipp. — Regresjon med tredjegradsfunksjon. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Koeffisienten føre tredjegradsleddet er svært liten. Likevel passar tredjegradsfunksjonen betre enn andregradsfunksjonen sidan veksten i folketalet avtek først og deretter stig.

Regresjonsmodell "Eksponentiell":

$f_{e} (x) = 3, 31 \cdot 1, 007^{x}$

Koordinatsystemet i regresjonsverktøyet viser punkta i oppgåva og den eksponentialfunksjonen som passar best med desse punkta. Eksponentialfunksjonen er nesten rettlinja og krummar svakt oppover. Skjermutklipp. — Regresjon med eksponentialfunksjon. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Denne grafen ser omtrent ut som grafen til $f_{p 2}$ . Han passar derfor heller ikkje så godt som grafen til $f_{p 3}$ .

Prøv gjerne andre regresjonsmodellar òg!

c) Finn nyare tal for folketalet. Korleis passar desse inn i modellane i førre oppgåve?

Tips til oppgåva

Overfør modellane til det vanlege grafikkfeltet. Teikn så inn dei nye punkta, og sjå kor godt dei passar inn.

d) Kva for nokre av modellane vil passe best på lang sikt, trur du?

Løysing

Alle modellane med unntak av den rette linja vil gi ein vekst som aukar meir og meir. Det er ikkje så veldig sannsynleg. Det er kanskje heller ikkje så veldig sannsynleg med jamn lineær vekst; folketalet kan ikkje halde fram med å vekse i det uendelege.

e) Korleis trur du det påverkar modellane dersom du lagar dei ved berre å bruke tala frå 1990 og utover? Gjer dette med nokre av modellane frå oppgåve a) og b).

Delvis løysing

Dersom vi berre tek med tal frå 1990 og utover, får vi berre den delen der veksten er aukande. Då vil til dømes ein eksponentialfunksjon passe betre enn i dei førre oppgåvene, og ein lineær modell vil passe dårlegare.

Relatert innhald

Fagstoff

Modell for folketalsutviklinga i Noreg

Lineær regresjon er å finne uttrykk for ein tilnærma lineær funksjon.

3.3.80

Relatert innhald

Reglar for bruk av teksten "Kva for ein matematisk modell passar best?"