Hopp til innhald
Fagartikkel

Modellar av figurar og mønster

Figurar og mønster kan vi ofte lage matematiske modellar av.

Figurane ovanfor er bygde opp av 9, 12 og 15 små kvadrat. Tenk deg at vi held fram å lage figurar etter same mønster.

Talet på små kvadrat i kvar figur dannar ein serie med tal, ei talfølgje, som byrjar med tala 9, 12 og 15 og held fram etter same mønster i det uendelege 9, 12, 15, ...
La Fn vere talet på små kvadrat i figur nummer n slik at F1=9, F2=12 og  F3=15

Prøv å svare på desse spørsmåla før du ser på løysinga.

  1. Kva gjer vi for å komme frå éin figur til den neste? Kva er mønsteret i det vi gjer?
  2. Kor mange små kvadrat vil det vere i Figur 4, Figur 5 og Figur 6? Det vil seie F4, F5 og F6.
  3. Kan du finne ein modell, ein formel, for talet på kvadrat i figur nummer n? Ein formel for Fn.
  4. Kor mange kvadrat er det etter din modell i figur nummer 998?

Løysning

Vis løysing
  1. Vi legg til tre små kvadrat for å komme frå éin figur til neste.
  2. Figur 4 vil derfor bestå av 18 små kvadrat, Figur 5 av 21 kvadrat og Figur 6 av 24 kvadrat. Det vil seie at F4=18, F5=21 og F6=24.
  3. Eg ser at talet på kvadrat alltid er lik 3 multiplisert med eit tal som er 2 høgare enn «figurnummeret».F1=9=3(1+2), F2=12=3(2+2), F3=15=3(3+2), F4=18=3(4+2),F5=21=3(5+2), F6=3(6+2). Vi får då modellen Fn=3(n+2)
  4. Talet på kvadrat i figur nummer 998 er då  F998 =3(998+2)=3·1000=3000.

Trekantar

Ein likesida ABC har areal lik T. Midtpunkta på sidene i ABC er hjørna i ein ny likesida trekant med areal lik T1 . Midtpunkta på sidene i DEC er hjørna i ein ny likesida trekant IHG med areal lik T2. Etter same mønster lager vi trekanter med areal T3, T4, og så vidare.
Denne prosessen tenkjer vi oss held fram i det uendelege. Sjå skissa nedanfor.

Oppgåve

  1. Kva blir arealet til trekant T1? Kva blir arealet til trekant T2? Kva blir arealet til trekant T3?
  2. Kan du finne ein modell, ein formel, for arealet Tn når vi held frem å lage trekantar etter same mønster?
  3. Bruk modellen, og set opp eit uttrykk for arealet T10? Kva blir arealet T1000?
  4. Studer figuren og finn ut kva som blir summen av areala T1, T2, T3, og så videre. Omkrinsen av ABC er lik 3. Trekanten som har arealet lik Tn har omkrinsen On.
  5. Forklar at O1=32, O2=34 og O3=38.
  6. Kan du finne en modell, en formel, for omkrinsen til trekant nr. n når vi held fram å lage trekantar etter same mønster?
  7. Bruk modellen og finn O4.

Løysing

Vis løysing
  1. FED er éin av fire like store likesida trekantar med samla areal lik arealet til ABC. FED har derfor arealet T1=T41.IHG er éin av fire like store likesida trekantar med samla areal lik arealet til DEC. IHG har derfor arealet T2=T4·14=T42. Tilsvarande er T3=T2·14=T42·14=T43 , og slik held det fram.
  2. Det tyder at vi får modellen for arealet Tn=T4n.
  3. Vi bruker modellen og får at T10=T410 og T1000=T41000.
  4. T1 utgjer tredjeparten av arealet til firkanten ABED, T2 utgjer tredjeparten av arealet til firkanten DEHG, og slik held det fram. Det må tyde at summen av alle dei fargelagte trekantane må vere lik tredjedelen av arealet til den store trekanten. Vi kan skrive det slik T1+T2+T3+...=T3.
  5. Sidene i FED er halvparten av sidene i ABC. Omkrinsen til FED må da vere halvparten av omkrinsen til ABC. Det vil seie at O1=321. Sidene i IHG er halvparten av sidene i FED. Omkrinsen til IHG må da vere halvparten av omkrinsen til FED. Det vil seie at O2=O1·12=32·12=322. Tilsvarande er O3=O2·12=322·12=323, og slik held det fram.
  6. Det tyder at vi får modellen for omkrinsen, On=32n.
  7. Vi bruker modellen og får at O4=324=316.