Figurane ovanfor er bygde opp av 9, 12 og 15 små kvadrat. Tenk deg at vi held fram å lage figurar etter same mønster.
Talet på små kvadrat i kvar figur dannar ein serie med tal, ei talfølgje, som byrjar med tala 9, 12 og 15 og held fram etter same mønster i det uendelege 9, 12, 15, ...
La vere talet på små kvadrat i figur nummer slik at og
Prøv å svare på desse spørsmåla før du ser på løysinga.
- Kva gjer vi for å komme frå éin figur til den neste? Kva er mønsteret i det vi gjer?
- Kor mange små kvadrat vil det vere i Figur 4, Figur 5 og Figur 6? Det vil seie og F6.
- Kan du finne ein modell, ein formel, for talet på kvadrat i figur nummer ? Ein formel for .
- Kor mange kvadrat er det etter din modell i figur nummer 998?
Løysning
Vis løysing
- Vi legg til tre små kvadrat for å komme frå éin figur til neste.
- Figur 4 vil derfor bestå av 18 små kvadrat, Figur 5 av 21 kvadrat og Figur 6 av 24 kvadrat. Det vil seie at og .
- Eg ser at talet på kvadrat alltid er lik 3 multiplisert med eit tal som er 2 høgare enn «figurnummeret».. Vi får då modellen
- Talet på kvadrat i figur nummer 998 er då .
Trekantar
Ein likesida har areal lik . Midtpunkta på sidene i er hjørna i ein ny likesida trekant med areal lik . Midtpunkta på sidene i er hjørna i ein ny likesida trekant med areal lik . Etter same mønster lager vi trekanter med areal , og så vidare.
Denne prosessen tenkjer vi oss held fram i det uendelege. Sjå skissa nedanfor.
Oppgåve
- Kva blir arealet til trekant ? Kva blir arealet til trekant ? Kva blir arealet til trekant ?
- Kan du finne ein modell, ein formel, for arealet når vi held frem å lage trekantar etter same mønster?
- Bruk modellen, og set opp eit uttrykk for arealet ? Kva blir arealet ?
- Studer figuren og finn ut kva som blir summen av areala , og så videre. Omkrinsen av er lik 3. Trekanten som har arealet lik har omkrinsen .
- Forklar at .
- Kan du finne en modell, en formel, for omkrinsen til trekant nr. når vi held fram å lage trekantar etter same mønster?
- Bruk modellen og finn .
Løysing
Vis løysing
- er éin av fire like store likesida trekantar med samla areal lik arealet til . har derfor arealet . er éin av fire like store likesida trekantar med samla areal lik arealet til . har derfor arealet . Tilsvarande er , og slik held det fram.
- Det tyder at vi får modellen for arealet .
- Vi bruker modellen og får at .
- utgjer tredjeparten av arealet til firkanten , utgjer tredjeparten av arealet til firkanten , og slik held det fram. Det må tyde at summen av alle dei fargelagte trekantane må vere lik tredjedelen av arealet til den store trekanten. Vi kan skrive det slik .
- Sidene i er halvparten av sidene i . Omkrinsen til må da vere halvparten av omkrinsen til . Det vil seie at . Sidene i er halvparten av sidene i . Omkrinsen til må da vere halvparten av omkrinsen til . Det vil seie at . Tilsvarande er , og slik held det fram.
- Det tyder at vi får modellen for omkrinsen, .
- Vi bruker modellen og får at .