Oppgåver og aktivitetar

Tredjegradsfunksjonar

Oppgåvene nedanfor skal løysast med bruk av hjelpemiddel, til dømes GeoGebra, der det er mogleg.

3.3.20

a) Teikn grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f (x) = - 0, 5 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 3$ , og finn grafisk eventuelle

toppunkt
botnpunkt
skjeringspunkt med koordinataksane

Vis fasit

Vi finn grafisk botnpunktet $(0.6, 2.2)$ og toppunktet $(3.4, 7.8)$ med kommandoen $Ekstremalpunkt (f)$ i GeoGebra.

Vi finn grafisk, med kommandoen $Nullpunkt (f)$ i GeoGebra, at det er eit nullpunkt i $(5, 0)$ .

Skjering med andreaksen i $(0, 3)$ finn vi ved å skrive $(0, f(0))$ .

b) Teikn grafen til funksjonen $g$ gitt ved $g (x) = 0, 20 x^{3} - 0, 60 x^{2} + 4$ , og finn grafisk eventuelle

toppunkt
botnpunkt
skjeringspunkt med koordinataksane

Vis fasit

Toppunktet er i $(0, 4)$ .

Botnpunktet er i $(2, 3.2)$ .

Grafen skjer førsteaksen i $(- 2, 0)$ .

Grafen skjer andreaksen i $(0, 4)$ .

Vi bruker den same metoden som i oppgåve a) over.

3.3.21

Ein tredjegradsfunksjon kan skrivast på forma $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ der $a, b, c og d$ er konstantar.

Lag ein funksjon i GeoGebra der du har glidarar for kvar av konstantane.

a) Forklar med eigne ord kva som skjer dersom du lèt $a$ variere mellom negative og positive tal.

Vis fasit

Dersom $a$ er negativ, kjem grafen frå pluss uendeleg og går mot minus uendeleg. Dersom $a$ er positiv, blir det omvendt: Grafen kjem frå minus uendeleg og går mot pluss uendeleg.

b) Forklar med eigne ord kva som skjer når $d$ varierer.

Vis fasit

$d$ er konstantleddet og flyttar heile grafen oppover og nedover i koordinatsystemet.

c) Kva skjer med grafen dersom $a$ er negativ og du lèt $b$ variere i intervallet $[- 5, 5]$ ? Kva skjer dersom $a$ er positiv?

Vis fasit

Her er det litt avhengig av $b$ , så her er det berre å teste ut!

d) Kva skjer viss du lèt $c$ variere mellom $- 5 og 5$ ? Har storleiken og forteiknet på $b$ noko å seie for korleis grafen endrar seg når du endrar $c$ ?

Vis fasit

Test ut!

3.3.22

Grafen viser temperaturen frå midnatt fram til kl. 12 eit døgn i mars.

Graf i koordinatsystem som viser temperaturen i grader Celsius x timar etter midnatt. Når x er lik 0, er temperaturen 0. Så stig grafen til omlag 0,3 grader når x er lik 2, så synk han til omlag minus 0,7 når x er lik 7,5. Deretter stig grafen bratt til 1,9 grader når x er lik 12. Skjermutklipp.

a) Finn ekstremalpunkta til grafen.

Vis fasit

Ekstremalpunkta finn vi i toppunktet $A (1.8, 0.3)$ og i botnpunktet $B (7.6, - 0.7)$ .

b) Når har vi den høgaste temperaturen, og kor høg er temperaturen då?

Vis fasit

Den høgaste temperaturen har vi kl. 12. Vi les av grafen at temperaturen då er nesten $2 ° C$ .

c) Finn når grafen har nullpunkt.

Vis fasit

Vi har nullpunkt for $x = 0$ , $x = 4$ og $x = 10$ .

3.3.23

Gitt ein sylinder der summen av diameter og høgde er 2,2 dm.

a) Kall høgda i sylinderen $h$ , og vis at eit uttrykk for radius $r$ uttrykt ved $h$ er $r (h) = \frac{2, 2 - h}{2}$ .

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} d + h & = & 2, 2 \\ 2 r (h) + h & = & 2, 2 \\ 2 r (h) & = & 2, 2 - h \\ r (h) & = & \frac{2, 2 - h}{2} \end{array}$

b) Vis at volumet av sylinderen, $V (h)$ kan uttrykkjast som $V (h) = \frac{π}{4} \cdot {(2, 2 - h)}^{2} \cdot h$ .

Vis fasit

Volumet til ein sylinder er gitt ved $V = π r^{2} \cdot h$ . Vi bruker uttrykket frå a) og får $V (h) = π {(\frac{2, 2 - h}{2})}^{2} \cdot h = \frac{π}{4} {(2, 2 - h)}^{2} \cdot h$ .

c) Kva slags funksjon er $V$ ?

Vis fasit

Dette er ein tredjegradsfunksjon.

Dersom vi multipliserer ut parentesen, får vi eit andregradsuttrykk som multiplisert med $h$ gir eit tredjegradsuttrykk.

d) Finn volumet når høgda er 1,0 dm.

Vis fasit

Vi teiknar grafen til $V (h)$ i GeoGebra ved å skrive

$V (h) = Funksjon (pi / 4 \cdot (2.2 - h)^{2} \cdot h, 0, 2.2)$

Vi les av punktet $(1, V (1))$ på grafen ved å skrive inn $(1, V (1))$ . Sjå punktet A på figuren nedanfor.

Grafen til funksjonen V av h er lik pi fjerdedelar multiplisert med parentes 2,2 minus h parentes slutt i andre multiplisert med h er teikna i eit koordinatsystem der førsteaksen går frå h er lik 0 til h er lik 2,2. På grafen er punktet A med koordinatane 1 og 1,13 markert. Skjermutklipp. — Grafen til volumfunksjonen i oppgåva

Volumet er 1,1 liter når høgda er 1,0 dm.

e) Finn høgda når volumet er 1,0 liter.

Vis fasit

Vi teiknar linja $y = 1$ og finn skjeringspunkta mellom linja og grafen med verktøyet "Skjering mellom to objekt". Sjå punkta B og C på figuren nedanfor.

Høgda kan vere 0,39 dm eller 1,15 dm for at volumet skal bli 1,0 liter.

f) Finn radius i dei sylindrane som har eit volum på 1,0 liter.

Vis fasit

Samanhengen mellom radius og høgd har vi frå oppgåve a):

$r (h) = \frac{2, 2 - h}{2}$

I løysinga med CAS i GeoGebra nedanfor har vi gått ut frå at funksjonen $V (h)$ er skrive inn frå før slik som i oppgåve d).

$\begin{array}{rcl} r (h) : = \frac{2.2 - h}{2} \\ 1 \\ \to r (h) : = - \frac{1}{2} h + \frac{11}{10} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} V (h) = 1 \\ 2 \\ NLøys: {h = 0.39, h=1.15} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} r (HøgreSide ($ 2, 1)) \\ 3 \\ \approx 0.91 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} r (HøgreSide ($ 2, 2)) \\ 4 \\ \approx 0.53 \end{array}$

I kommandoen "HøgreSide" betyr "$2" linje 2, og talet 1 betyr det første elementet, det vil seie det første svaret på linja. Alternativt kan vi på linje 3 skrive og få rekna ut $r (0.39)$ , og vi kan gjere tilsvarande i linje 4. Då kan svaret rett nok bli litt unøyaktig.

Radius i sylindrane er 0,91 dm eller 0,53 dm.

CC BY-SASkrive av Olav Kristensen, Stein Aanensen og Tove Anette Holter.

Sist fagleg oppdatert 30.06.2020

Tredjegradsfunksjonar

3.3.20

3.3.21

3.3.22

3.3.23

Reglar for bruk