Deriverbarheit
Kva betyr det at ein funksjon er deriverbar? Vi minner om at den deriverte er stigingstalet til tangenten til eit punkt på grafen til ein funksjon. Dersom det ikkje går an å teikne ein eintydig tangent i eit punkt på grafen, vil derfor ikkje funksjonen vere deriverbar i dette punktet.
Spørsmålet om deriverbarheit er spesielt aktuelt for funksjonar med delt funksjonsforskrift. Er funksjonen deriverbar i det punktet der funksjonsuttrykket blir endra? Vi vil bruke døma nedanfor til å kome fram til reglane for deriverbarheit.
Døme 1. Diskontinuerleg funksjon
I eit av døma på sida "Funksjonar med delt forskrift" (sjå lenkje under relatert innhald) viser vi at funksjonen
ikkje er kontinuerleg for
Grafisk betraktning
På biletet har vi teikna grafen til funksjonen
Kan vi teikne ein tangent i eit endepunkt? Det kan vi eigentleg ikkje, for tangentlinja kan "snurre rundt" endepunktet. Ein tangent har derfor ikkje meining i eit endepunkt. Då kan vi heller ikkje bestemme noko stigingstal til han, og den deriverte kan ikkje eksistere i dette punktet. Konklusjonen må bli at funksjonen
Vi undersøkjer problemet ved rekning
Dersom ein funksjon
Frå læra om grenseverdiar har vi at sidan nemnaren går mot null, må òg teljaren gå mot null for at denne grenseverdien skal eksistere. Vi må altså ha at
Kva grenseverdisetning har vi brukt i overgangen mellom den første og den andre linja?
Løysing
Her har vi brukt grenseverdisetninga som seier at vi kan dele opp grenseverdien til ein sum (eller differanse) i grenseverdien til kvart av ledda.
Kvifor kan vi berre fjerne den andre grenseverdien i linje 2 og erstatte han med
Løysing
Uttrykket vi skal finne grenseverdien til,
Å la
Dette er vidare det same som trengst for at ein funksjon skal vere kontinuerleg, sjå sida "Kontinuerlege og diskontinuerlege funksjonar" under relatert innhald. Eit naudsynt krav for at ein funksjon skal vere deriverbar i eit punkt, er altså at funksjonen er kontinuerleg i punktet. Derfor vil ikkje dømefunksjonen vår vere deriverbar for
Det første kravet for deriverbarheit
Det er naudsynt at ein funksjon er kontinuerleg for
Ein annan måte å seie dette på er:
Dersom ein funksjon
Døme 2. Knekkpunkt
I eit anna av døma på sida "Funksjonar med delt forskrift" viser vi at funksjonen
er kontinuerleg for
Vi kan sjå at grafen har eit knekkpunkt for
Er det alltid slik at ein funksjon er deriverbar dersom han er kontinuerleg?
Grafisk betraktning
Dersom vi tenkjer oss at vi prøver å teikne ein tangent i knekkpunktet på grafen på biletet, får vi problem med å bestemme tangenten eintydig fordi tangenten kan vippe rundt knekken. Då får vi den same situasjonen som i det førre dømet, nemleg at vi ikkje kan finne noko stigingstal, og den deriverte kan derfor ikkje eksistere i punktet.
Funksjonen er kontinuerleg, men ikkje deriverbar i knekkpunktet.
Vi undersøkjer problemet ved rekning
Det at tangenten vippar rundt knekkpunktet, må bety at den deriverte nærmar seg éin verdi når
For at
Før vi veit om funksjonen er deriverbar i punktet
Dersom
Vi får at
og
Dette viser at funksjonen ikkje er deriverbar for
Det andre kravet for deriverbarheit
Det er naudsynt at
Ein annan måte å seie dette på er som følgjer:
Dersom
Korleis stiller vi oss til desse to krava om deriverbarheit?
Må vi sjekke begge dei naudsynte krava for deriverbarheit for å finne ut om ein funksjon er deriverbar i eit punkt?
Forklaring
Svaret på det er ja. Vi såg i det andre dømet at ein funksjon kunne vere kontinuerleg, men ikkje deriverbar i eit punkt. I ei av oppgåvene vil du kome borti eit døme på ein funksjon der grenseverdien
Vi seier at kvart enkelt av dei to krava er naudsynt, men ikkje tilstrekkeleg, for at ein funksjon skal vere deriverbar i eit punkt. Det betyr at dersom eitt av krava ikkje er oppfylt i eit bestemt punkt, er ikkje funksjonen deriverbar i dette punktet. Det betyr òg at grenseverdien
ikkje eksisterer.
Deriverbare funksjoner er kontinuerlege
Vi har ein matematisk samanheng som seier at
Ein funksjon er deriverbar
Vi har her valt å alltid sjekke kontinuitet først, for så å sjekke grenseverdiane til den deriverte til funksjonen i området rundt punktet vi undersøkjer. Samanhengen over seier oss at vi kan velje å gå den andre vegen, det vil seie å først undersøkje deriverbarheit ved hjelp av definisjonen til den deriverte. Dersom vi kan vise at denne grenseverdien er den same når
Definisjonen av den deriverte kjenner vi på forma
Vi ser igjen på funksjonen over:
Vi reknar ut dei to grenseverdiane i punktet
Vi observerer at de to grenseverdiane ikkje er like, det vil seie at grenseverdien ikkje eksisterer, og dermed kan vi konkludere med at funksjonen ikkje deriverbar i punktet
Kva er eigentleg skilnaden på det vi har gjort her, og det vi gjorde lenger oppe?
Forklaring
Når vi bruker reknereglane for derivasjon på kvart av uttrykka, har vi allereie gått ut frå at den deriverte eksisterer i dei punkta vi ser på. Hugs at reknereglane er forenklingar av definisjonen til den deriverte! Dermed har viktig informasjon gått tapt på vegen, og vi kan risikere å få eit falskt positivt resultat.
Legg merke til at vi ut frå konklusjonen ikkje kan seie om funksjonen er kontinuerleg eller ikkje. Dersom vi finn at funksjonen ikkje er deriverbar, må vi undersøkje vidare om funksjonen er kontinuerleg. Hadde vi funne ut at funksjonen var deriverbar, kunne vi ha konkludert med at funksjonen òg var kontinuerleg.