Kjerneregelen

Mange funksjonar er meir kompliserte enn dei vi har studert til no, men ser vi meir nøye etter, viser det seg ofte at dei er sette saman av enklare funksjonar. Til dømes kan funksjonen $f$ gitt ved $f\left(x\right)={\left(x^3+2\right)}^4$ bli oppfatta som ein samansett funksjon. Først skal ein gitt $x$-verdi opphøgjast i tredje potens og adderast til talet 2. Vi kallar denne funksjonen for $u$ og seier at $u\left(x\right)=x^3+2$ er kjernefunksjonen.

Då er til dømes

$$ u\left(1\right)=1^3+2=3$$

Neste steg er at det resultatet som $u$ gir, skal opphøgjast i fjerde potens. Vi oppfattar òg dette som ein eigen funksjon, og vi kallar denne funksjonen for $g$. Merk at denne funksjonen ikkje er ein funksjon av $x$, han er ein funksjon av $u$, og vi får at $g\left(u\right)=u^4$.

Då er

$$ g\left(3\right)=3^4=81$$

Den opphavlege funksjonen $f$ er då gitt ved $f\left(x\right)=g\left(u\left(x\right)\right)$ og

$f\left(1\right)=g\left(u\right(1\left)\right)=g(1^2+2)=g\left(3\right)=3^4=81$

Poenget er at både $u$ gitt ved $u\left(x\right)=x^3+2$ og $g$ gitt ved $g\left(u\right)=u^4$ er funksjonar som vi kan derivere:

$\begin{array}{rcl}{u}^{\text{'}}\left(x\right)& = & 3x^2\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(u\right)& =& 4u^3\end{array}$

Funksjonen $u$ er derivert med omsyn på $x$, og funksjonen $g$ er derivert med omsyn på $u$.

Vi kan bevise at kjerneregelen gjeld for derivasjon av samansette funksjonar:

$f\left(x\right)=g\left(u\right(x\left)\right)\begin{array}{ccc}& & \end{array}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\left(x\right)$

Døme 1

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & {\left(x^3+2\right)}^4 \\ & & \\ g\left(u\right)& =& u^4 u\left(x\right)=x^3+2\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(u\right)& =& 4u^3 u^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\left(x\right)\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& 4{\left(x^3+2\right)}^3·\left(3x^2\right)\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& 12x^2{\left(x^3+2\right)}^3\end{array}$$

Døme 2

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & \sqrt{x-1}\\ & & \\ g\left(u\right)& =& \sqrt{u}, u\left(x\right)=x-1\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(u\right)& =& \frac{1}{2\sqrt{u}}, u^{\text{'}}\left(x\right)=1\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\left(x\right)\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{1}{2\sqrt{x-1}}·1\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{1}{2\sqrt{x-1}}\end{array}$$