Hopp til innhald
Fagartikkel

Grunnleggande derivasjonsreglar

I denne artikkelen oppsummerer vi dei grunnleggande derivasjonsreglane du lærte i 1T.

Den deriverte til ein konstant funksjon

Ein konstant funksjon, f(x), har ingen variabel x og inneheld berre ein konstant k.

fx=k

Den deriverte til ein konstant funksjon blir 0.

f'x=0

Her ser du tre døme:

Døme 1Døme 2Døme 3Funksjonengx=3hx=πpx=3π2Den deriverteg'x=0h'x=0p'x=0

Grafen til ein konstant funksjon

Grafen til ein konstant funksjon er ei vassrett linje. Han er ein lineær funksjon fordi grafen består av ei rett linje.

Fordi linja er rett, har ho lik stiging heile vegen, og sidan denne linja er vassrett, er stigingstalet lik 0. Derfor er den deriverte til ein konstant funksjon lik null. Tangenten til linja er sjølve linja.






Den deriverte til ein potensfunksjon

Ein potensfunksjon er ein funksjon på formen f(x)=xr, r.

Vi har at:

f(x)=xrf'(x)=r·xr-1

Bevis for regelen når eksponenten r=2:

fx=x2

f'(x) = limx0f(x+x)-f(x)x=limx0(x+x)2-x2x=limx0(x2+2xx+x2)-x2x=limx02xx+(x)2x=limx0x(2x+x)x=limx0x(2·x+x)x=limx02x+x=2x

Utforsking

Forsøk å bevise regelen for den deriverte til potensfunksjonar ved å bruke fx=x3.

Vi har tidlegare sett at

  • når a er eit reelt tal ulikt frå 0 og n eit naturleg tal, er a-n=def1an
  • når a er eit positivt reelt tal, n eit naturleg tal og m eit heilt tal, så er amn=amn=anm

Dette gjer at regelen for derivasjon av potensuttrykk kan brukast i svært mange tilfelle.

Døme på derivasjon av potensfunksjonar

Nokre døme

Døme 1

Døme 2

Døme 3

f(x)=x2f'(x)=2x2-1=2x1=2x

f(x)=x3f'(x)=3x3-1=3x2

f(x)=x5f'(x)=5x4

Døme 4

Døme 5

Døme 6

f(x)=x=x1f'(x)=1x1-1=1x0         =1

fx=x=x12f'x=12x-12         =12x12         =12x

fx=1x=x-1f'x=-1·x-2         =-1x2

Den deriverte til ein funksjon multiplisert med ein konstant

Vi deriverer ein funksjon multiplisert med ein konstant ved å derivere funksjonen og multiplisere med konstanten.

Dette gir

f(x) = a·g(x)f'(x) = a·g'(x)

Døme:

f(x) = 5x2f'(x) = 5·2x2-1= 10x

Den deriverte til summar av og differansar mellom funksjonar

Vi deriverer summar av og differansar mellom funksjonar ved å derivere ledd for ledd.

f(x)=g(x)+h(x)f'(x)=g'(x)+h'(x)f(x)=g(x)-h(x)f'(x)=g'(x)-h'(x)

Døme:

gx = 13x3-2x = 13x3-2·x12g'x = 13·3·x3-1-2·12·x12-1 = 33·x2-22·x-12 = x2-1x12=x2-1x

Video om bruk av derivasjonsreglar

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0