Hopp til innhald
Fagartikkel

Produktregelen for derivasjon

Produktregelen for derivasjon er lett å hugse sidan han er "symmetrisk". Det må han vere sidan rekkjefølgja av faktorane i eit produkt er vilkårleg.

Vi har ein eigen regel for å finne den deriverte av eit produkt av to funksjonar:

f(x)=u(x)·v(x)f'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x)f=u·vf'=u'·v+u·v'

f, u og v er funksjonar av x og skal deriverast med omsyn på x. I den andre linja ovanfor har vi brukt ein litt forenkla skrivemåte.

Døme 1

fx = x2+3xux·x3+1vxf'x=u'x·vx+ux·v'xf'x=2x+3u'x·x3+1vx+x2+3xux·3x2v'xf'x=2x4+2x+3x3+3+3x4+9x3f'x=5x4+12x3+2x+3

Her kunne vi òg ha multiplisert ut parentesane før vi deriverte.

Døme 2

fx=(x-1)ux·xvxf'x=1u'x·xvx+x-1ux·12xv'xf'x=x·2x2x+x-12xf'x=2x+x-12xf'x=3x-12x

Kan vi multiplisere ut parentesen her òg før vi deriverer?

Bevis for produktregelen:


f'x=limx0ux+x·vx+x-ux·vxxVi legg så til og trekkjer frå det same uttrykket i teljaren.f'x=limx0ux+x·vx+x-u(x)·v(x+x)+u(x)·v(x+x)=0-ux·vxxf'x=limx0(ux+x-u(x))·v(x+x)x+limx0u(x)·(v(x+x)-vx)xf'x=limx0(ux+x-u(x))xu'x·limx0vx+xvx+limx0uxux·limx0(v(x+x)-vx)xv'xf'x=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x)

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0