Hopp til innhald
Oppgåve

Den deriverte til logaritmefunksjonen

Her kan du øve på å derivere funksjonsuttrykk som inneheld logaritmar.

2.4.70

Deriver funksjonane.

a) fx=2lnx

Løysing

fx = 2lnx = 2·lnxf'x = 2·lnx'= 2·1x = 2x

b) fx=ln2x

Løysing

fx = ln2x = ln2+lnxf'x = 0+1x = 1x

c) fx=lnx2

Løysing

fx= lnx2 = 2·lnxf'x = 2·lnx'= 2·1x= 2x

2.4.71

Deriver funksjonane.

a)fx=ex+lnx

Løysing

fx = ex+lnxf'x = ex+1x

b) g(x)=ex·lnx

Løysing

g(x) = ex·lnxg'(x) = ex'·lnx+ex·lnx' = ex·lnx+ex·1x = xex·lnx+exx = exx·lnx+1x

c) hx=exlnx

Løysing

hx=exlnxh'x = ex'·lnx-ex·1xlnx2 = ex·lnx·x-ex1x·xlnx2·x= exxlnx-1xlnx2

2.4.72

a) Vi har funksjonen fx=2·3x+5lnx. Kva er den momentane vekstfarten når x=3?

Løysing

fx=2·3x+5lnx

Det er den deriverte som gir oss svaret på dette, så vi må finne f'(3):

f'x = 2·3x·ln3+5·1x= 23xln3+5xf'3 = 233ln3+53= 60,9961,0

b) Vi har funksjonen gt=4(lnt)2. Kva er den momentane vekstfarten når t=3?

Løysing

gt=4(lnt)2

Vi bruker kjerneregelen og regel for derivasjon av logaritmefunksjonar:

u=lntu'=1tg(u)=4u2g'u=8ug't=u'·g'u=1t·8·lnt8lnttg'3=8·ln332,93

2.4.73

Tømrarfirmaet Furefoss AS har ei årsomsetning som er gitt ved  Tx = 2xln3x+5-12. Her er x tida målt i år, og Tx er årsomsetninga gitt i millionar kroner.

a) Kor stor er årsomsetninga om 3 år?

Løysing

Vi bruker CAS i GeoGebra:

Dette vil seie at årsomsetninga er cirka 3,8 millionar kroner om 3 år.

b) Når er årsomsetninga over 20 millionar kroner?

Løysing

Vi bruker CAS i GeoGebra:

Det vil ta omtrent 5 år og 3 månader til firmaet har ei årsomsetning på 20 millionar kroner. Avrunda til heile år vil det ta 6 år før firmaet har ei årsomsetning på over 20 millionar kroner.

c) Lag eit uttrykk som viser kor raskt årsomsetninga aukar per år.

Løysing

Det er den deriverte som gir oss auken i årsomsetning. Vi bruker CAS i GeoGebra:

d) Kor raskt aukar årsomsetninga om fem år?

Løysing

Vi bruker GeoGebra:

Om fem år aukar årsomsetninga med 7,5 millionar kroner per år.