Her skal du sjølv prøve å kome fram til den deriverte til eksponentialfunksjonar.
Ein eksponentialfunksjon er ein funksjon gitt på forma
der variabelen opptrer som eksponent i ein potens. Grunntalet i eksponenten er ein konstant større enn null, og er ein konstant.
Det er eit tal som peiker seg spesielt ut som grunntal i eksponentialfunksjonen, og det er talet
Utforsk
På figuren under ser du den blå grafen til funksjonen gitt ved fx=ex. Her er det eit svart punkt som du kan trekkje opp eller ned langs grafen. Den stipla linja viser tangenten til punktet på grafen.
Dra i punktet på figuren over, og observer koordinatane til punktet og likninga til tangenten. Ser du nokon samanheng?
Vi observerer
Vi ser at andrekoordinaten til punktet er det same som stigingstalet til tangenten i punktet. fx er jo andrekoordinaten til punktet x, og stigingstalet til tangenten er den deriverte til f.
Korleis kan du beskrive det du fann over reint matematisk?
Vi observerer
Den deriverte til funksjonen fx=ex er funksjonen sjølv.
Konklusjonen blir at eksponentialfunksjonen f gitt ved fx=ex er lik sin eigen deriverte:
f(x)=ex⇒f'(x)=ex
Dette gjer talet e til eit av dei viktigaste tala i matematikken. Hugs at talet e òg er grunntalet til den naturlege logaritmen.
Legg òg merke til at når fx=kex, der k er ein konstant, er f'x=kex.
Kva gjer vi når eksponenten er ein funksjon av x?
Når eksponenten er ein funksjon av x, bruker vi kjerneregelen, til dømes slik: