Øv deg på å finne likninga til tangenten til ein graf i eit punkt.
2.4.80
Funksjonen er gitt ved fx=2x3-2x2+2.
a) Finn f'x.
Løysing
fx=2x3-2x2+2f'x=6x2-4x
b) Finn ved rekning likninga for tangenten i (1,f1).
Løysing
Vi finn først y-verdien til punktet der tangenten skal treffe funksjonen:
f1=2·13-2·12+2=2-2+2=2
Stigingstalet til tangenten er det same som den deriverte i dette punktet. Stigingstalet i (1,f1) er
f'1=6·12-4·1=2
No veit vi at tangenten går gjennom punktet (1,2) og har stigingstalet 2. Vi kan då bruke eittpunktsformelen for å finne likninga for tangenten.
y-y1=a(x-x1)y-2=2(x-1)y=2x
c) Teikn grafen til f og tangenten i eit koordinatsystem, og finn den deriverte til f i punktet (1,2) grafisk.
Løysing
Vi bruker GeoGebra: Vi teiknar grafen f. Så skriv vi (1,f(1)) inn i algebrafeltet og får eit punkt. Vi bruker kommandoen "Tangent (<x-verdi>,<Funksjon>)" og får tangenten til f i punktet. Vi bruker kommandoen "Stiging (<Linje>)" og les av a=2. Den deriverte til f i punktet (1,2) er 2.
2.4.81
Funksjonen f er gitt ved fx=x2-2x-2.
a) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen i punkta 0,-2,1,-3og2,-2.
Løysing
Vi deriverer f og finn vekstfarten i punkta.
f'x=2x-2f'0=2·0-2=-2f'1=2·1-2=0f'2=2·2-2=2
b) Finn likninga for tangentane i dei tre punkta.
Løysing
Vi bruker eittpunktsformelen og finn tangentane.
Tangentlikninga i punktet (0,-2) blir
y--2=-2x-0y=-2x-2
Tangentlikninga i punktet (1, -3) blir
y--3=0x-1y=-3
Tangentlikninga i punktet (2, -2) blir
y--2=2x-2y=2x-6
c) Teikn grafen til f og dei tre tangentane i det same koordinatsystemet.
Løysing
Vi bruker GeoGebra og teiknar grafen til f. Så skriv vi koordinatane til punkta inn algebrafeltet og får punkta på grafen. Vi bruker kommandoen "Tangent (<x-verdi>,<Funksjon>)" og får tangenten til f i punkta.
d) Ser du nokon samanheng mellom forteiknet til den momentane vekstfarten og korleis grafen endrar seg?
Løysing
Når vekstfarten er negativ, vil grafen søkke. Ved vekstfart lik 0 vil grafen verken stige eller søkke. I tilfellet vårt vil det seie botnpunktet. Når vekstfarten er positiv, er grafen veksande.