Hopp til innhald
Oppgåve

Likninga for tangenten til ein graf i eit punkt

Øv deg på å finne likninga til tangenten til ein graf i eit punkt.

2.4.80

Funksjonen f er gitt ved  fx=2x3-2x2+2.

a) Finn f'x.

Løysing

fx = 2x3-2x2+2f'x = 6x2-4x

b) Finn ved rekning likninga for tangenten i (1, f1).

Løysing

Vi finn først y-verdien til punktet der tangenten skal treffe funksjonen:

f1= 2·13-2·12+2= 2-2+2= 2

Stigingstalet til tangenten er det same som den deriverte i dette punktet. Stigingstalet i (1, f1) er

f'1 = 6·12-4·1= 2

No veit vi at tangenten går gjennom punktet (1, 2) og har stigingstalet 2. Vi kan då bruke eittpunktsformelen for å finne likninga for tangenten.

y-y1 = a(x-x1)y-2 = 2(x-1)y = 2x

c) Teikn grafen til f og tangenten i eit koordinatsystem, og finn den deriverte til f i punktet (1, 2) grafisk.

Løysing

Vi bruker GeoGebra: Vi teiknar grafen f. Så skriv vi (1,f(1)) inn i algebrafeltet og får eit punkt. Vi bruker kommandoen "Tangent (<x-verdi>,<Funksjon>)" og får tangenten til f i punktet. Vi bruker kommandoen "Stiging (<Linje>)" og les av  a=2. Den deriverte til f i punktet (1, 2) er 2.

2.4.81

Funksjonen f er gitt ved  fx = x2-2x-2.

a) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen i punkta 0,-2, 1,-3 og 2,-2.

Løysing

Vi deriverer f og finn vekstfarten i punkta.

f'x = 2x-2f'0 = 2·0-2= -2f'1 = 2·1-2 = 0f'2 = 2·2-2= 2

b) Finn likninga for tangentane i dei tre punkta.

Løysing

Vi bruker eittpunktsformelen og finn tangentane.

Tangentlikninga i punktet (0, -2) blir

y--2 = -2x-0y = -2x-2

Tangentlikninga i punktet (1, -3) blir

y--3 = 0x-1y = -3

Tangentlikninga i punktet (2, -2) blir

y--2 = 2x-2y = 2x-6

c) Teikn grafen til f og dei tre tangentane i det same koordinatsystemet.

Løysing

Vi bruker GeoGebra og teiknar grafen til f. Så skriv vi koordinatane til punkta inn algebrafeltet og får punkta på grafen. Vi bruker kommandoen "Tangent (<x-verdi>,<Funksjon>)" og får tangenten til f i punkta.

d) Ser du nokon samanheng mellom forteiknet til den momentane vekstfarten og korleis grafen endrar seg?

Løysing

Når vekstfarten er negativ, vil grafen søkke. Ved vekstfart lik 0 vil grafen verken stige eller søkke. I tilfellet vårt vil det seie botnpunktet. Når vekstfarten er positiv, er grafen veksande.