Deriverbarheit

Det første kravet er at funksjonen må vere kontinuerleg i punktet. Det betyr at

$$ $ \underset{x\to b}{\lim }f\left(x\right)=f\left(b\right)$$$

Det andre kravet er at grenseverdien

$$ $ $ \underset{x\to b}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)$$$$

eksisterer.

Vi sjekkar først om funksjonen er kontinuerleg i punktet:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(2x+2\right)=2·0+2=2\\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right)=0^2+2=2\\ & =& f\left(0\right)\end{array}$$

Dei to grenseverdiane og funksjonsverdien er like, så funksjonen er kontinuerleg for  $$ x=0$$.

Så må vi sjekke om  $$ \underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)$$  eksisterer:

$$ $ f^{\text{'}}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2 ,& x>0\\ 2x , & x<0\end{array}\right.$$$

$$ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }2=2$$

$$ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }2x=2·0=0$$

Grenseverdien eksisterer ikkje, og $$ f^{\text{'}}\left(0\right)$$ eksisterer derfor ikkje. Funksjonen er ikkje deriverbar for  $$ x=0$$.

Grafen tyder òg på at funksjonen ikkje er deriverbar for  $$ x=0$$  sidan det ser ut som grafen har eit knekkpunkt der.

Vi sjekkar først om funksjonen er kontinuerleg i punktet:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(2x+2\right)=2·2+2=6\\ \underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right)=2^2+2=6\\ & =& f\left(2\right)\end{array}$$

Dei to grenseverdiane og funksjonsverdien er like, så funksjonen er kontinuerleg for  $$ x=2$$.

Så må vi sjekke om  $$ \underset{x\to 2}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)$$  eksisterer:

$$ $ f^{\text{'}}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2 ,& x>2\\ 2x , & x<2\end{array}\right.$$$

$$ \underset{x\to 2^{+}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }2=2$$

$$ \underset{x\to 2^{-}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }2x=2·2=4$$

Grenseverdien eksisterer ikkje sidan vi fekk to ulike resultat, og $$ f^{\text{'}}\left(2\right)$$ eksisterer derfor ikkje. Funksjonen er ikkje deriverbar for  $$ x=2$$.

Grafen tyder òg på at funksjonen ikkje er deriverbar for  $$ x=2$$  sidan det ser ut som grafen har eit knekkpunkt der.

Vi sjekkar først om funksjonen er kontinuerleg i punktet:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(-x^2+9\right)=-1^2+9=8\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(-x+9\right)=-1+9=8\\ & =& f\left(1\right)\end{array}$$

Dei to grenseverdiane og funksjonsverdien er like, så funksjonen er kontinuerleg for  $$ x=1$$.

Så må vi sjekke om  $$ \underset{x\to 1}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)$$  eksisterer:

$$ $ f^{\text{'}}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-2x ,& x>1\\ -1 , & x<1\end{array}\right.$$$

$$ \underset{x\to 1^{+}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(-2x\right)=-2·1=-2$$

$$ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(-1\right)=-1$$

Grenseverdien eksisterer ikkje sidan vi fekk to ulike resultat, og $$ f^{\text{'}}\left(1\right)$$ eksisterer derfor ikkje. Funksjonen er ikkje deriverbar for  $$ x=1$$.

Grafen tyder òg på at funksjonen ikkje er deriverbar for  $$ x=1$$  sidan det kan sjå ut som grafen har eit knekkpunkt der.

Vi sjekkar først om funksjonen er kontinuerleg i punktet:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 0^{+}}{\lim }x=0\\ & =& f\left(0\right)\\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(-x\right)=0\end{array}$$

Dei to grenseverdiane og funksjonsverdien er like, så funksjonen er kontinuerleg for  $$ x=0$$.

Så må vi sjekke om  $$ \underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)$$  eksisterer:

$$ $ f^{\text{'}}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}1 ,& x>0\\ -1 , & x<0\end{array}\right.$$$

$$ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }1=1$$

$$ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(-1\right)=-1$$

Grenseverdien eksisterer ikkje sidan vi fekk to ulike resultat, og $$ f^{\text{'}}\left(0\right)$$ eksisterer derfor ikkje. Funksjonen er ikkje deriverbar for  $$ x=0$$.

Grafen tyder òg på at funksjonen ikkje er deriverbar for  $$ x=0$$  sidan det ser ut som grafen har eit knekkpunkt der.

Vi sjekkar først om funksjonen er kontinuerleg i punktet:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{+}}{\lim }{x}^2=1^2=1\\ & =& f\left(1\right)\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(2x-1\right)=2·1-1=1\end{array}$$

Dei to grenseverdiane og funksjonsverdien er like, så funksjonen er kontinuerleg for  $$ x=1$$.

Så må vi sjekke om  $$ \underset{x\to 1}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)$$  eksisterer:

$$ $ f^{\text{'}}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2x ,& x>1\\ 2 , & x<1\end{array}\right.$$$

$$ \underset{x\to 1^{+}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }2x=2·1=2$$

$$ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }2=2$$

Grenseverdien eksisterer sidan vi fekk to like resultat, og $$ f^{\text{'}}\left(1\right)$$ eksisterer sidan funksjonen er kontinuerleg. Funksjonen er deriverbar for  $$ x=1$$.

Ut frå grafen kan det sjå ut som funksjonen er deriverbar for  $$ x=1$$  sidan det er ein jamn overgang utan knekk der. Vi kan likevel ikkje fastslå ut frå grafen at det ikkje er eit knekkpunkt. Auga kan lure oss, for det kan vere ein liten knekk der som vi ikkje ser. Vi må derfor alltid sjekke grenseverdiane for den deriverte.

Vi sjekkar først om funksjonen er kontinuerleg i punktet.

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{+}}{\lim }{x}^2=1^2=1\\ & =& f\left(1\right)\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(2x-2\right)=2·1-2=0\end{array}$$

Dei to grenseverdiane er ikkje like, så funksjonen er ikkje kontinuerleg for  $$ x=1$$. Funksjonen er derfor heller ikkje deriverbar for  $$ x=1$$.

Vi observerer at grafen ikkje er kontinuerleg for  $$ x=1$$.

Dersom vi samanliknar funksjonen i e) med funksjonen i f), er den einaste skilnaden at det andre funksjonsuttrykket i e) er  $$ 2x-1$$  mens det i f) er  $$ 2x-2$$. Det betyr at grafen som høyrer til funksjonsuttrykket i f) blir forskuva éi eining nedover i forhold til grafen til funksjonsuttrykket i e). Sidan funksjonen i e) var kontinuerleg for  $$ x=1$$, kan derfor ikkje funksjonen i f) vere det. Konklusjonen blir at funksjonen i f) ikkje kan vere deriverbar for  $$ x=1$$.

Vi bruker dei to krava for deriverbarheit. Kravet om kontinuitet for  $$ x=a$$  gir

$$ $ $ \underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$$$$

Den første likninga gir

$$ $ \begin{array}{rcl}\underset{x\to a^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right) & =& \underset{x\to a^{+}}{\lim }\left(2x+b\right)\\ a^2+2 & =& 2a+b\\ & & \end{array}$$$

Vi reknar så ut at  $$ $ f\left(a\right)=a^2+2$$$. Dette er det same som den eine grenseverdien og gir derfor ikkje nokon nye løysingar (eller avgrensingar).

Så må vi bruke kravet om at  $$ $ \underset{x\to a}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)$$$  skal eksistere:

$$ $ $ f^{\text{'}}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2 ,& x>a\\ 2x , & x<a\end{array}\right.$$$$

$$ $ \begin{array}{rcl}\underset{x\to a^{+}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& \underset{x\to a^{-}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }2 & =& \underset{x\to a^{-}}{\lim }2x\\ 2 & =& 2a\\ a & =& 1\end{array}$$$

Vi set dette inn i likninga over og får

$$ \begin{array}{rcl}{a}^2+2 & =& 2a+b\\ 1^2+2 & =& 2·1+b\\ 3 & =& 2+b\\ b & =& 1\end{array}$$

Teikn til slutt funksjonen med  $$ a=1 \wedge b=1$$. Ser det ut som funksjonen er deriverbar for  $$ a=1$$?