Hopp til innhald
Fagartikkel

Den deriverte til logaritmefunksjonen

Korleis beviser vi at den deriverte til logaritmefunksjonen er ein potensfunksjon?

Den deriverte til logaritmefunksjonen er ein potensfunksjon:

fx=lnxf'x=1x=x-1

Bevis

Definisjonen på den naturlege logaritmen seier at alle positive tal x kan skrivast som e opphøgd i logaritmen til x. Det gir at

x=elnx

Når to funksjonar er like, er òg dei deriverte funksjonane deira like. Vi deriverer venstre og høgre side av likninga over kvar for seg:

Venstre side: x'=1

Vi bruker kjerneregelen

f(x)=g(u(x))f'(x)=g'(u)·u'(x)

til å derivere høgre side:

elnx'=eu'·u'=eu·u'=elnx·lnx'=x·lnx'

Då er

x·lnx' = 1(lnx)'=1x

Døme 1

fx=2lnxf'x=2·1xf'x=2x

Døme 2

fx = 2lnx2+2gu=2lnu           u=x2+2g'u=2·1u          u'x=2xf'x=g'u·u'xf'x=2·1x2+2·2xf'x=4xx2+2