Produktregelen
Deriver funksjonane utan hjelpemiddel på to måtar:
a) fx=x3·x5
Løysing
fx = x3·x5= x3+5 = x8f'x = 8x8-1= 8x7
fx = x3·x5f'x = x3'·x5+x3·x5' = 3x2·x5+x3·5x4= 3x2+5+5x4+3 = 3x7+5x7 = 8x7
b) gx=6x-12x-2
Løysing
gx = 6x-12x-2 = 12x2-12x-2x+2 = 12x2-14x+2g'x = 12·2x-14 = 24x-14
gx = 6x-12x-2g'x = 6x-1'·2x-2+6x-1·2x-2' = 6·2x-2+6x-1·2 = 12x-12+12x-2 = 24x-14
c) hz=x-5z2
Løysing
Hugs at her skal vi derivere med omsyn på z.
hz = x-5z2 = x2-2x5z+25z2h'z = -10x+50z
hz = x-5z·x-5zh'z = x-5z'·x-5z+x-5z·x-5z' = -5·x-5z+x-5z·-5 = -5x+25z-5x+25z = -10x+50z
Deriver funksjonane utan hjelpemiddel.
a) fx=5x3+4x-1
Løysing
fx=5x3+4x-1f'x=5x3+4'·x-1+5x3+4·x-1' =15x2·x-1+5x3+4·1 =15x3-15x2+5x3+4 =20x3-15x2+4
b) gx=3x2+2x-1
Løysing
gx=3x2+2x-1 =3x2+2'x-1+3x2+2x-1'g'x=6xx-1+3x2+212x =6xx-1·2x+3x2+22x =12x2-12xx+3x2+22x =15x2-12xx+22x
c) hx=x2+3x3
Løysing
hx=x2+3x3h'(x)=x2+3'x3+x2+3·x3' =2x·x3+x2+3·3x2 =2x4+3x4+9x2 =5x4+9x2
d) jx=13x3-2x2·3x-2
Løysing
I denne oppgåva kan det bli uoversiktleg dersom vi fører slik som vi har gjort i dei tidlegare oppgåvene. Her kan det vere formålstenleg å sjå på dei to faktorane kvar for seg først.
j(x)= 13x3-2x2·3x-2u(x)=13x3-2x2=13x3-2x-2u'(x)=3·13x3-1-2·-2·x-2-1=x2+4x-3v(x)=3x-2v'(x)=3·-2·x-2-1=-6x-3(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x)=x2+4x-3·3x-2+13x3-2x-2·-6x-3=3x2-2+12x-3-2-2x3-3+12x-2-3=1+24x-5
Finn likninga til tangenten til funksjonen i punktet der x=2 utan bruk av hjelpemiddel.
a) fx=(2x-2)2
Løysing
fx = 2x-22f2 = 2·2-22=(4-2)2 = 22=4
Vi finn den deriverte til funksjonsuttrykket i punktet der x=2. Dermed finn vi stiginga til tangenten som rører grafen til f i punktet 2,f2:
f'x = (2x-2)'·(2x-2)+(2x-2)·(2x-2)'= 2·(2x-2)'·(2x-2)= 2·2·(2x-2)=8x-8f'2 = 8·2-8=8
Vi finn likninga til tangenten:
y-y1 = ax-x1y-4 = 8(x-2)y = 8x-16+4y = 8x-12
b) gx=2xx2-x
Løysing
gx = 2xx2-x = 2x3-2x2g2 = 2·23-2·22 = 16-8 = 8
Vi finn den deriverte til funksjonsuttrykket i punktet der x=2. Dermed finn vi stiginga til tangent som rører grafen til f i punktet (2, g(2)):
g'x = 2·x2-x+2x2x-1 = 2x2-2x+4x2-2x= 6x2-4xg'2 = 6·22-4·2=16
Vi finn likninga til tangenten:
y-y1 = ax-x1y-8 = 16(x-2)y = 16x-32+8y = 16x-24