Hopp til innhald
Oppgåve

Grunnleggande derivasjonsreglar

Her kan du øve på dei grunnleggande derivasjonsreglane.

Oppgåve 1

fx=π

Bruk definisjonen til den deriverte til å derivere fx.

Definisjonen til den deriverte

f'x=limx0fx+x-fxx

Løysing

fx = πf'x=limx0fx+x-fxx=limx0π-πx=0

Oppgåve 2

Deriver funksjonane ved å bruke reknereglar for derivasjon.

a) fx=5

b) y=e

c) gx=π+5

d) hx=5π3

e) ix=2b

f) jx=x+d

g) kx=3y+8

Løysing

a) fx = 5f'x = 0

b) y = ey' = 0

c) gx = π+5g'x = 0

d)  hx = 5π3h'x = 0

e) ix = 2bi'x = 0

f) jx = x+dj'x = 1

g) kx = 3y+8k'x = 0

Oppgåve 3

Vi har funksjonen fx=7.

Teikn funksjonen med digital grafteiknar, finn stigningstalet til funksjonen, og forklar med eigne ord kvifor stigningstalet er det det er.

Løysing

Vi teiknar fx med digital grafteiknar:

Stigningstalet til fx er lik 0. Det kan ein finne med digital grafteiknar, sjå biletet over der a = 0. Når stigningstalet er 0, har grafen inga positiv eller negativ stigning. Han er 0 for heile fx.

Oppgåve 4

Deriver funksjonane utan hjelpemiddel.

a) fx=x2

Løysing

fx = x2f'x = 2x2-1= 2x

b) yx=x5

Løysing

yx = x5y'x = 5x5-1 = 5x4

c) gx=5x7

Løysing

gx = 5x7g'x = 5·7x7-1 = 35x6

d) yx=x-5

Løysing

yx = x-5y'x = -5x-5-1    = -5x-6     eller = - 5x6

e) gx=3x-4

Løysing

gx = 3x-4g'x = 3·-4x-4-1 = -12x-5   eller = -12x5

f) ft=-6t3

Løysing

ft = -6t3f't = -6·3t3-1 = -18t2

Oppgåve 5

Deriver funksjonane utan hjelpemiddel.

a) fx=x0

Løysing

fx = x0 = 1f'x = 0

b) yx=1x5

Løysing

yx = 1x5 = x-5y'x = -5x-6 = -5x6

c) gx=5x

Løysing

gx = 5x= 5x12g'x = 5·12·x12-1 = 52x-12 = 52x12 = 52x

d) zt=1t

Løysing

zt = 1t = t-12zt' = -12t-12-22 = -12t-32 = -12t32 = -12t22·t12 = -12t·t

e) f(t)=3x2

Løysing

Hugs at her skal vi derivere med omsyn på t.

f(t) = 3x2f't = 0

f) ft=2t3

Løysing

ft = 2t3f't = 2·3t2

Oppgåve 6

Deriver funksjonsuttrykka ved hjelp av reglane du har lært.

a) fx=4x3-7x

Løysing

fx = 4x3-7xf'x = 4·3x3-1-7 = 12x2-7

b) gx=3x3+x-2

Løysing

gx = 3x3+x-2g'x = 3·3x3-1+1 = 9x2+1

c) gx=12x2-2x+7

Løysing

gx = 12x2-2x+7g'x = 12·2·x2-1-2= x-2

d) gt=22t3+3

Løysing

gt = 22t3+3g't = 2(2·3t3-1) = 2(6t2) = 12t2

e) hx = 2x+3x+1

Løysing

hx = 2x+3x+1 = 2x·x+2x·1+3·x+3·1 = 2x2+2x+3x+3 = 2x2+5x+3h'x = 2·2x2-1+5 = 4x+5

f) ix = x33+x44

Løysing

ix = x33+x44 = 13·x3+14·x4i'x = 13·3x3-1+14·4x4-1 = x2+x3

Oppgåve 7

Deriver funksjonsuttrykka ved hjelp av reglane du har lært. Finn deretter f'0 og f'2.

a) fx=x2-6

Løysing

fx = x2-6f'x = 2xf'0 = 2·0= 0f'2 = 2·2= 4

b) fx=-3x3+5x2-2

Løysing

fx=-3x3+5x2-2f'x=-3·3x3-1+5·2x2-1=-9x2+10xf'0=0f'2=-9·22+10·2  =-16

c) fx=3x3-12x2+5x

Løysing

fx = 3x3-12x2+5xf'x = 3·3x3-1-12·2x2-1+5 = 9x2-x+5f'0 = 9·02-0+5 = 5f'2 = 9·22-2+5 = 39

d) fx=1214x2-12x

Løysing

fx = 1214x2-12xf'x = 1214·2x-12 = 1212x-12 = 14x-14f'0 = 14·0-14 = -14f'2 = 14·2-14 = 14

Oppgåve 8

Vi testar ut derivasjon med ulike hjelpemiddel.

a) Utan hjelpemiddel: Deriver funksjonen  fx=4x2+5x, og finn f'0 og f'1.

Løysing

fx = 4x2+5xf'x = 4·2x2-1+5 = 8x+5f'0 = 8·0+5 = 5f'1 = 8·1+5 = 13

b) Deriver funksjonen, og finn stigninga i punkta på grafen til f der  x=0  og  x=1  ved hjelp av CAS.

Løysing

Vi bruker CAS til å løyse oppgåva:

c) Bruk digital grafteiknar til å finne den momentane vekstfarten til funksjonen når  x=0  og  x=1.

Løysing

Vi skriv inn funksjonsuttrykket. Vi bruker kommandoen Tangent(<x-verdi>,<Funksjon>) og teiknar tangentar som rører grafen i punkta  x=0  og  x=1. Vi bruker Stigning(<Linje>) og finn stigninga på tangentane. I punktet  x=0  er stigninga 5, og i punktet  x=1  er stigninga 13.

d) Dersom funksjonsuttrykket  fx=4x2+5x  viser talet på bakteriar i ein liten bakteriekultur og x er talet på minutt etter midnatt, kva viser då f'0 og f'1?

Løysing

f'0=5  fortel oss at ved midnatt vaks bakteriekulturen med 5 bakteriar i minuttet, mens f'1=13  fortel oss at kl. 01.00 om natta vaks bakteriekulturen med 13 bakteriar i minuttet.

Oppgåve 9

Løys oppgåvene ved rekning utan hjelpemiddel.

a) Finn f'1 når  fx = 2x4-x2+π

Løysing

fx = 2x4-x2+πf'x = 2·4x4-1-2x2-1 = 8x3-2xf'1 = 8·13-2·1 = 6


b) Finn f'0,5 når  fx = 2a+3x2

Løysing

fx = 2a+3x2f'x = 0+3·2x2-1 = 6xf'0,5 = 6·0,5 = 3

c) Finn f'0 når  fx=3x2-b2

Løysing

fx  = 3x2-b2f'x = 3·2x2-1-0 = 6xf'0 = 6·0 = 0

d) Finn f'-1,5 når  f(t)=2x+3t2

Løysing

ft = 2x+3t2f't = 0+3·2t = 6tf'-1,5 = 6·-1,5= -9

Oppgåve 10

Deriver uttrykka under utan hjelpemiddel.

a) fx = 3x2-z2

Løysing

fx  = 3x2-z2     fx viser at vi skal                  derivere med omsyn  x.f'x = 3·2x = 6

b) ft=2x3-4t2+t

Løysing

ft = 2x3-4t2+t   ft viser at vi skal                        derivere med omsyn  t.f't = 0-4·2t+1= -8t+1

c) gx=x3-2z2+x+π

Løysing

 gx = x3-2z2+x+πg'x = 3x2-0+1+0 = 3x2+1

d) gz = x3-2z2+x+π

Løysing

gz = x3-2z2+x+πg'z = 0-2·2z+0+0 = -4z

Oppgåve 11

Vi har uttrykket  x2+2z-2xz.

a) Deriver uttrykket med omsyn på x.

Løysing

2x+0-2z = 2x-2z

b) Deriver uttrykket med omsyn på z.

Løysing

0+2-2x = 2-2x

c) Deriver uttrykket med omsyn på t.

Løysing

0+0-0 = 0

Oppgåve 12

Vi har uttrykket  3x4-7xy2+2xz-13z3.

a) Deriver uttrykket med omsyn på x.

Løysing

3·4x4-1-7y2+2z-0 = 12x3-7y2+2z


b) Deriver uttrykket med omsyn på y.

Løysing

0-7x·2y+0-0 = 14xy

c) Deriver uttrykket med omsyn på z.

Løysing

0-0+2x-13·3z3-1 = 2x-z2


d) Deriver uttrykket med omsyn på t.

Løysing

0-0+0-0=0