Hopp til innhald
Fagartikkel

Brøkregelen for derivasjon

Mange funksjonar består av ein brøk. Vi har eitt uttrykk i teljaren og eit anna i nemnaren. Når vi deriverer brøkfunksjonar, bruker vi kvotientregelen.

Akkurat som for produktfunksjonar har vi ein eigen regel for å derivere brøkfunksjonar:

fx=u(x)v(x)f'x=u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)(v(x))2f=uvf'=u'·v-u·v'v2

f, u og v er funksjonar av x og skal deriverast med omsyn på x. I den andre linja ovanfor har vi brukt ein litt forenkla skrivemåte.

Den deriverte til ein brøk blir ein ny brøk der nemnaren er kvadratet av den opphavlege nemnaren. Teljaren liknar på uttrykket til den deriverte av eit produkt, men skilnaden er at det står minusteikn mellom ledda. Det er derfor viktig med rett rekkjefølgje på ledda i teljaren. Start med å derivere teljaren.

Døme 1

fx = x3+2x2

For å ikkje blande ux og vx kan det vere lurt å skrive dei opp for seg sjølve først.

ux=x3+2vx=x2u'x=3x2v'x=2x

fx = x3+2x2f'x=u'x·vx-ux·v'xvx2f'x=3x2u'x·x2vx-x3+2ux·2xv'xx22vx2f'x=3x4-2x4-4xx4f'x=x4-4xx4=xx3-4x4=x3-4x3

Døme 2

fx=x+1x+2

ux=x+1vx=x+2u'x=1v'x=1

f'x=1·x+2-x+1·1x+22f'x = 1x+22

Bevis for kvotientregelen

Hugs at fx=uxvx kan skrivast som fx=ux·1vx

og som ux·1vx=ux·vx-1.

Vi bruker produktregelen

fx=u(x)·vxf'x=u'(x)·vx+u(x)·v'x

når vi vil bevise kvotientregelen:

f'x=u'xu'x·vx-1vx+uxux·vx-1'v'xf'x=u'x·1vx+ux·-1·vx-1-1-2·v'xf'x=u'xvx-ux·vx-2·v'xf'x=u'xvx-ux·v'xvx2

For å få lik nemnar kan vi multiplisere den første brøken med vx i teljaren og nemnaren:

f'x=u'x·vxvx·vx-ux·v'xvx2f'x=u'x·vx-ux·v'xvx2

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0