Hopp til innhald
Fagartikkel

Funksjonar med delt forskrift

Funksjonar med delt forskrift vil seie funksjonar som er definerte med eitt funksjonsutrykk for nokre verdiar av x og eit anna funksjonsutrykk for andre verdiar av x. Slike funksjonar er ofte ikkje kontinuerlege.

Døme 1

Billettprisen for vaksne på ein fotballkamp er 100 kroner, og billettprisen for barn er 60 kroner.

Vi lèt funksjonen p(x) vere prisen ein tilskodar med alder x år må betale for å sjå fotballkampen. Då kan vi skrive funksjonen med delt forskrift.

px={60,             0<x<18100,           18x100   

Her betyr det at  p(x)=60  når  0<x<18  og  p(x)=100  når 18x100.

Grenseverdien når x går mot 18 frå venstre er lik 60.
Grenseverdien når x går mot 18 frå høgre er lik 100.
Funksjonsverdien når  x=18  er 100.

Det betyr at funksjonen p er diskontinuerleg.

Delt funksjonsforskrift med GeoGebra

Vi kan få GeoGebra til å teikne funksjonen i døme 1 ved å bruke kommandoen Dersom og skrive inn vilkåra og tilhøyrande funksjonsuttrykk etter kvarandre med komma mellom:

p(x)=Dersom(0<x<18,60,18<=x<=100,100)

Døme 2

Funksjonar treng ikkje vere diskontinuerlege sjølv om dei er gitt med delt forskrift.

fx={14x2-4  ,       x<412x-2   ,       x4

Spørsmål

Kva betyr den delte funksjonsforskrifta over?

Svar

Her gjeld det første funksjonsuttrykket 14x2-4 når x er mindre enn 4 og det andre når x er større eller lik 4.

Vi skal undersøkje om funksjonen f er kontinuerleg for  x=4.

Vi må sjekke grenseverdien til funksjonen for x-verdiane der funksjonen skiftar uttrykk.

Grenseverdien når x går mot 4 frå venstre er

limx4-fx = limx4-14x2-4=14·16-4=0

Grenseverdien når x går mot 4 frå høgre er

limx4+fx = limx4+x2-2= 42-2=0

Funksjonsverdien i punktet der  x=4  er

f4=12·4-2=0

Dei to grenseverdiane og funksjonsverdien er like. Funksjonen f er dermed kontinuerleg for  x=4.

Dei to symbola på grafen i punktet (4, 0) markerer at den blå grafen gjeld for  x[4, , og den raude grafen gjeld for , 4.

Døme 3

fx={-14x2-1  ,      x<22x-8         ,      x2

Vi skal undersøkje om funksjonen er kontinuerleg for  x=2.

Vi sjekkar grenseverdien til funksjonen for x-verdiane der funksjonen skiftar uttrykk.

Grenseverdien når x går mot 2 frå venstre er

limx2-fx = limx2--14x2-1=-14·22-1=-2

Grenseverdien når x går mot 2 frå høgre er

limx2+fx = limx2+2x-8= 2·2-8= -4

Funksjonsverdien i punktet der  x=2  blir

f2=2·2-8=-4

Dei to grenseverdiane er ikkje like. Funksjonen f er dermed ikkje kontinuerleg for  x=2.

Vi kan òg sjå dette av grafen til f, som ikkje er samanhengande i heile definisjonsområdet sitt.

CC BY-SA 4.0Skrive av Olav Kristensen og Stein Aanensen.
Sist fagleg oppdatert 07.02.2021