Oppgåve

Kontinuerlege og diskontinuerlege funksjonar

Er funksjonane kontinuerlege eller ikkje?

2.2.1

Avgjer om funksjonane er kontinuerlege.

a) $f (x) = x^{2} - 2 x + 4$

Løysing

Dette er ein polynomfunksjon. Funksjonen er kontinuerleg for $x \in ℝ$ .

b) $f (x) = \frac{x}{x - 4}$

Løysing

Funksjonen $g$ er ikkje definert for $x = 4$ .

Funksjonen er kontinuerleg for $x \in ℝ \ {4}$ .

2.2.2

På ein matematikkprøve vart karakterane bestemde av oppnådde poeng. Samanhengen mellom poeng og karakter på matematikkprøven var som følgjer:

$\begin{matrix} Poengsum & [0, 25 ⟩ & [25, 45 ⟩ & [45, 60 ⟩ & [60, 80 ⟩ & [80, 95 ⟩ & [95, 100 ⟩ \\ Karakter & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{matrix}$

Her kan vi oppfatte karakteren som ein funksjon av poengsummen. Avgjer om funksjonen er kontinuerleg i heile området frå 0 poeng til 100 poeng.

Løysing

Funksjonen er berre kontinuerleg innanfor dei enkelte poengintervalla, sjå figur nedanfor.

Lèt vi til dømes poengsummen nærme seg 25 nedanfrå, blir karakteren 1. Dersom vi lèt poengsummen nærme seg 25 ovanfrå, blir karakteren 2.

Eit koordinatsystem med nemninga poeng langs x-aksen og karakter langs y aksen. 6 piler er teikna inn. Den første pila går vassrett langs ei linje der y er lik 1 og strekkjer seg frå x er lik 0 til 25. Den andre pila går vassrett langs ei linje der y er lik 2 og strekkjer seg frå x er lik 25 til 45. Den tredje pila går vassrett langs ei linje der y er lik 3 og strekkjer seg frå x er lik 45 til 60. Den fjerde pila går vassrett langs ei linje der y er lik 4 og strekkjer seg frå x er lik 60 til 80. Den femte pila går vassrett langs ei linje der y er lik 5 og strekkjer seg frå x er lik 80 til 95. Den sjette pila går vassrett langs ei linje der y er lik 6 og strekkjer seg frå x er lik 95 til 100. Skjermutklipp. — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-SA 4.0

2.2.3

Gjennom eit vinterdøgn vart det målt følgjande temperaturar:

$\begin{matrix} Tidspunkt & 02 : 00 & 06 : 00 & 10 : 00 & 14 : 00 & 18 : 00 & 22 : 00 \\ Temperatur & - 8, 0 ° C & - 10, 8 ° C & - 7, 4 ° C & - 4, 9 ° C & - 6, 5 ° C & - 7, 8 ° C \end{matrix}$

Her kan vi oppfatte temperaturen som ein funksjon av tida. Avgjer om funksjonen er kontinuerleg gjennom heile døgnet.

Løysing

Grafen til funksjonen vil vere samanhengande i heile området. Funksjonen er kontinuerleg gjennom heile døgnet. Grafen er her teikna som rette linjestykke mellom målepunktene. Vi kan ikkje vere sikre på korleis grafen går mellom målepunkta, heller ikkje om målepunkta representerer maksimums- og minimumstemperaturane.

Eit koordinatsystem der x-aksen har tittelen timar frå midnatt og y-aksen har tittelen temperatur. Rette linjestykke mellom punkt dannar ei samanhengande linje. Punkta er 2 og minus 8, det andre punktet er 6 og minus 10,8, det tredje punktet er 10 og minus 7,4, det fjerde punktet er 14 og minus 4,9, det femte punktet er 18 og minus 6,5, og det siste punktet er 22 og minus 7,8. Skjermutklipp. — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-SA 4.0

2.2.4

Figuren til høgre viser grafen til funksjonen $f$ .

Eit koordinatsystem med to piler som peiker mot kvarandre. Den eine er søkkande og stoppar i punktet x er minus 2 og y er 4. Den andre pila er stigande og stoppar i det same punktet. Illustrasjon. — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-SA 4.0

a) Finn grenseverdien dersom han eksisterer.

$\lim_{x \to - 2^{-}} f (x)$

Løysing

$\lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = 2$

b) Finn grenseverdien dersom han eksisterer.

$\lim_{x \to - 2^{+}} f (x)$

Løysing

$\lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = 2$

c) Finn $f (- 2)$ dersom han eksisterer.

Løysing

Grafen viser eit brot ved $x = - 2$ . Det eksisterer derfor ingen funksjonsverdi for $x = - 2$ .

d) For kva verdiar av $x$ er funksjonen kontinuerleg?

Løysing

Funksjonen er kontinuerleg for alle verdiar av $x$ bortsett frå når $x = - 2$ .

2.2.5

Figuren viser grafen til funksjonen $g$ .

To rette linjer i eit koordinatsystem der x-aksen strekkjer seg frå minus 9 til pluss 5 og y-aksen strekkjer seg frå minus 1 og til pluss 6. Den høgre rette linja er stigande og sluttar med ein pilspiss i punktet der x er lik minus 2 og y er lik 4. Den venstre rette linja er søkkande og startar i punktet der x er lik minus 2 og y er lik 6. Skjermutklipp. — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-SA 4.0

a) Finn grenseverdien dersom han eksisterer.

$\lim_{x \to - 2^{-}} g (x)$

Løysing

$\lim_{x \to - 2^{-}} g (x) = 6$

b) Finn grenseverdien dersom han eksisterer.

$\lim_{x \to - 2^{+}} g (x)$

Løysing

$\lim_{x \to - 2^{+}} g (x) = 4$

c) Finn $g (- 2)$ dersom han eksisterer.

Løysing

Vi ser av grafen at $g (- 2) = 6$ .

d) For kva verdiar av $x$ er funksjonen kontinuerleg?

Løysing

Funksjonen er kontinuerleg for alle verdiar av $x$ bortsett frå når $x = - 2$ .

2.2.6

I kva område er funksjonane $f$ og $g$ er kontinuerlege?

a) $f (x) = \frac{x - 2 x}{x}$

Løysing

Funksjonen er kontinuerleg for alle verdiar av $x$ der han er definert. Sidan funksjonen ikkje er definert for $x = 0$ , kan vi seie at han er definert for $x \in ℝ \ {0}$ .

b) $g (x) = \frac{1}{x}$

Løysing

Funksjonen er kontinuerleg for $x \in ℝ \ {0}$ .

2.2.1

2.2.2

2.2.3

2.2.4

2.2.5

2.2.6

Reglar for bruk av teksten "Kontinuerlege og diskontinuerlege funksjonar"