Hopp til innhald
Fagartikkel

Kontinuerlege og diskontinuerlege funksjonar

Kva er ein kontinuerleg funksjon? Her skal vi gjere greie for og argumentere for om ein funksjon er kontinuerleg eller diskontinuerleg i eit punkt i eit definisjonsområde.

Frå ein båt blir djupna lodda ned til havbotnen mens han rører seg inn mot land. Vatnet blir jamt grunnare, bortsett frå når båten passerer eit fjellutspring som gjer at djupna endrar seg brått, sjå figuren.

Vi tenkjer oss djupna som funksjon av den strekninga båten tilbakelegg. Grafen til denne funksjonen ville då kunne sjå ut som vist på figuren. Grafen er ikkje samanhengande. Funksjonsverdiane gjer eit plutseleg hopp for ein spesiell verdi av x, men til kvar x-verdi blir det målt ei bestemd djupne, så funksjonen er definert for alle x.

Vi seier at djupnefunksjonen ikkje er kontinuerleg. Han er diskontinuerleg.

Grafane til kontinuerlege funksjonar er samanhengande i definisjonsområda sine. Vi kan altså teikne grafane med blyant utan å løfte blyanten frå papiret.

Ein funksjon f er kontinuerleg for  x=a  viss og berre viss

limxa fx=fa

Ein funksjon som ikkje er kontinuerleg i eit punkt, er diskontinuerleg i punktet.

Funksjonen f er kontinuerleg i eit intervall dersom f er kontinuerleg i alle punkt i intervallet.

Ein funksjon er kontinuerleg dersom han er kontinuerleg i heile definisjonsområdet sitt.

Ein funksjon kan ha to ulike grenseverdiar når x nærmar seg ein verdi a, avhengig av om x nærmar seg a frå høgre eller frå venstre.

Vi får derfor følgjande:

Ein funksjon f er kontinuerleg for  x=a  viss og berre viss

limxa-fx=limxa+fx=fa

limxa-fx betyr grenseverdien for fx når x går mot a frå venstre.

limxa+fx betyr grenseverdien for fx når x går mot a frå høgre.

Funksjonane f, g og h er gitt ved

fx = 13x3-x+2gx=x2-4x-2hx=x2-2x-2

Frå teorien om grenseverdiar har vi denne setninga:

Grenseverdien til ein polynomfunksjon fx når x går mot ein bestemd verdi a, kan vi finne ved å rekne ut fa.

Det betyr at f er kontinuerleg i definisjonsområdet sitt. Funksjonen er kontinuerleg. Funksjonen er òg definert for alle reelle tal slik at grafen til f er ei samanhengande kurve.

Funksjonane g og h er ikkje definerte for  x=2  fordi nemnarane blir 0 for  x=2. g har ein grenseverdi for  x=2, mens grafen til h har asymptoten  x=2. På figuren markerer X at funksjonen g ikkje er definert for  x=2 .

Vi kan finne grenseverdiane til funksjonane g og h når x går mot ein bestemd verdi a, som er ulik frå 2, ved å rekne ut fa.

Det betyr at funksjonane g og h er kontinuerlege i definisjonsområda sine, og dei er derfor kontinuerlege funksjonar.

CC BY-SA 4.0Skrive av Olav Kristensen og Stein Aanensen.
Sist fagleg oppdatert 26.02.2021