Hopp til innhald
Oppgåve

Funksjonar med delt forskrift

Sjekk om funksjonane er kontinuerlege ved å rekne ut grenseverdiar og funksjonsverdiar.

2.2.10

Undersøk om funksjonane er kontinuerlege. Teikn grafane.

a) fx=2x+2,x>0x2+2,x0

Løysing

Vi undersøkjer om grafen er kontinuerleg for  x=0.

Når x går mot 0 frå høgre, og når x går mot 2 frå venstre:

limx0+fx = limx0+2x+2=2·0+2=2limx0-fx = limx0-x2+2=02+2=2

f0=02+2=2

Dei to grenseverdiane og funksjonsverdiane er like. Funksjonen f er dermed kontinuerleg for  x=0. For alle andre verdiar av x er funksjonen eit polynom og er dermed kontinuerleg. Funksjonen er kontinuerleg for alle verdiar av x.

Vi bruker GeoGebra til å teikne funksjonen ved hjelp av kommandoen "Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Elles>)":

b) fx=2x+2,x>2x2+2,x2

Løysing

Vi undersøkjer om grafen er kontinuerleg for  x=2.
Når x går mot 2 frå høgre, og når x går mot 2 frå venstre:

limx2+fx = limx2+2x+2=2·2+2=6limx2-fx=limx2-x2+2=22+2=6

f2=22+2=6

Dei to grenseverdiane og funksjonsverdiane er like. Funksjonen f er dermed kontinuerleg for  x=2.

For alle andre verdiar av x er funksjonen eit polynom og er dermed kontinuerleg. Funksjonen er kontinuerleg for alle verdiar av x.

Vi bruker GeoGebra til å teikne funksjonen ved hjelp av kommandoen "Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Elles>)":

c) fx=2x+2,x>1x2+2,x1

Løysing

Vi undersøkjer om grafen er kontinuerleg for  x=1.

Når x går mot 1 frå høgre, og så når x går mot 1 frå venstre:

limx1+fx = limx1+2x+2=2·1+2=4limx1-fx = limx1-x2+2=12+2=3

f1=12+2=3

Dei to grenseverdiane og funksjonsverdiane er ikkje like. Funksjonen f er dermed ikkje kontinuerleg for  x=1. For alle andre verdiar av x er funksjonen eit polynom og er dermed kontinuerleg. Funksjonen er kontinuerleg for  x\{1}.

Vi bruker GeoGebra til å teikne funksjonen ved hjelp av kommandoen "Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Elles>)":


d) fx=-x2+9,x>1-x+9,x1

Løysing

Vi undersøkjer om grafen er kontinuerleg for  x=1.

Når x går mot 1 frå høgre, og så når x går mot 1 frå venstre:

limx1+fx = limx1+-x2+9=-12+9=8limx1-fx=limx1--x+9=-1+9=8f1=-1+9=8

Dei to grenseverdiane og funksjonsverdiane er like. Funksjonen f er dermed kontinuerleg for  x=1. For alle andre verdiar av x er funksjonen eit polynom og er dermed kontinuerleg. Funksjonen er kontinuerleg for alle verdiar av x.

e)  fx=2x-1,x<12       ,x=1x2      ,x>1

Tips til oppgåva

Sjølv om funksjonsforskrifta er delt i tre delar, gjeld det same kravet til kontinuitet som før.

Løysing

Vi undersøkjer om grafen er kontinuerleg for  x=1.

Når x går mot 1 frå høgre, og så når x går mot 1 frå venstre:

limx1+fx = limx1+x2=12=1limx1-fx=limx1-2x-1=2·1-1=1
f1=2

Dei to grenseverdiane er like, men f1 har ein annan verdi (2). Funksjonen f er dermed ikkje kontinuerleg for  x=1. For alle andre verdiar av x er funksjonen eit polynom og er med dette kontinuerleg. Funksjonen er kontinuerleg for  x\{1}.

For å teikne grafen til funksjonen i GeoGebra, skriv vi

Dersom(x<1,2x-1,1<=x<=1,2,x>1,x^2)

GeoGebra teiknar dessverre ikkje punktet  1,f1=1,2, så det må vi gjere manuelt. Legg òg merke til at vi må bruke dobbel ulikskap i staden for å skrive  x=1  i kommandoen.

2.2.11

Undersøk for kva verdi av a funksjonane er kontinuerlege.

a) fx=x-3,x<42,5x-a,x4

Løysing

Vi reknar først ut f4. Då må vi bruke det nedste funksjonsuttrykket, som gjeld for  x4.

f4 = 2,5·4-a=10-a= limx4+fx

Så må vi sjekke kva funksjonen går mot når  x4- .

limx4-fx=4-3=1

Dersom funksjonen skal vere kontinuerleg, må vi krevje at

limx4+fx = limx4-fx=f4

Dette gir

10-a = 1-a = 1-10a = 9

b) fx=x2-1,x<2ax,x2

Løysing

Vi reknar først ut f2. Då må vi bruke det nedste funksjonsuttrykket, som gjeld for  x2.

f2 = a·2=2a= limx2+fx

Så må vi sjekke kva funksjonen går mot når  x2- .

limx2-fx=22-1=3

Dersom funksjonen skal vere kontinuerleg, må vi krevje at

limx2+fx = limx2-fx=f2

Dette gir

2a = 3a = 32

c) fx=-2x2+3,x0-0,5x+a,x>0

Løysing

Vi reknar først ut f0. Då må vi bruke det øvste funksjonsuttrykket, som gjeld for  x0.

f0 = -2·02+3=3= limx0-fx

Så må vi sjekke kva funksjonen går mot når  x0+ .

limx0+fx=-0,5·0+a=a

Dersom funksjonen skal vere kontinuerleg, må vi krevje at

limx0+fx = limx0-fx=f0

Dette gir

a = 3

2.2.12

Funksjonen  fx=2x+2,x>1x2+2,x1  i oppgåve 2.2.10 c) er ikkje kontinuerleg.

a) Forklar korleis du kan endre på eitt av vilkåra i funksjonen slik at funksjonen blir kontinuerleg.

Løysing

Dersom vi set det andre vilkåret til  x<1  i staden for  x1, vil ikkje funksjonen lenger vere definert for  x=1, og funksjonen vil vere kontinuerleg fordi han er kontinuerleg i heile definisjonsområdet sitt.

b) Forklar korleis du kan endre på til dømes det andre funksjonsuttrykket (utan å endre vilkåra) slik at funksjonen f blir kontinuerleg.

Løysing

Vi har at grafen til det første funksjonsuttrykket, som er den rette linja, går mot verdien 4 når  x1. Dette er 1 meir enn det grafen til det andre funksjonsuttrykket går mot når  x1. Dersom vi endrar det andre funksjonsuttrykket (ved å legge til 1) til  x2+3, vil dei to grafdelane hengje saman, og funksjonen blir kontinuerleg. Det betyr at

fx=2x+2,x>1x2+3,x1

er ein kontinuerleg funksjon.

c) Vis matematisk at funksjonen f blir kontinuerleg når du gjer endringa i oppgåve b).

Løysing

Vi må undersøkje om funksjonen er kontinuerleg for  x=1.

limx1+fx = limx1+2x+2=2·1+2=4limx1-fx = limx1-x2+3=12+3=4

I tillegg har vi at  f1=12+3=4.

Dei to grenseverdiane og funksjonsverdien er like. Det betyr at funksjonen er kontinuerleg.

2.2.13

Vi ser på funksjonen

fx=2x+2,x>ax2+2,xa

a) For kva verdiar av a er funksjonen kontinuerleg?

Løysing

Vi må krevje at  limxa-fx=limxa+fx=fa

Den første likskapen gir

limxa-x2+2 = limxa+2x+2a2+2 = 2a+2a2-2a = 0aa-2 = 0a = 0      a-2=0a = 0      a=2

Vi reknar så ut at  fa=a2+2. Dette er det same som den eine grenseverdien og gir derfor ikkje nye løysingar (eller avgrensingar).

Stemmer dette med kva vi fann i oppgåve 2.2.10 a), b) og c)?

b) Forklar korleis du kan løyse oppgåve a) grafisk.

Løysing

Vi kan teikne grafane til dei to funksjonsuttrykka og finne skjeringspunkta.

CC BY-SA 4.0Skrive av Viveca Thindberg, Stein Aanensen, Olav Kristensen og Bjarne Skurdal.
Sist fagleg oppdatert 13.08.2021