Dei to grenseverdiane og funksjonsverdiane er like. Funksjonen f er dermed kontinuerleg for x=0. For alle andre verdiar av x er funksjonen eit polynom og er dermed kontinuerleg. Funksjonen er kontinuerleg for alle verdiar av x.
Vi bruker GeoGebra til å teikne funksjonen ved hjelp av kommandoen "Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Elles>)":
b) fx=2x+2,x>2x2+2,x≤2
Løysing
Vi undersøkjer om grafen er kontinuerleg for x=2. Når x går mot 2 frå høgre, og når x går mot 2 frå venstre:
Dei to grenseverdiane og funksjonsverdiane er ikkje like. Funksjonen f er dermed ikkje kontinuerleg for x=1. For alle andre verdiar av x er funksjonen eit polynom og er dermed kontinuerleg. Funksjonen er kontinuerleg for x∈ℝ\{1}.
Vi bruker GeoGebra til å teikne funksjonen ved hjelp av kommandoen "Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Elles>)":
d) fx=-x2+9,x>1-x+9,x≤1
Løysing
Vi undersøkjer om grafen er kontinuerleg for x=1.
Når x går mot 1 frå høgre, og så når x går mot 1 frå venstre:
Dei to grenseverdiane og funksjonsverdiane er like. Funksjonen f er dermed kontinuerleg for x=1. For alle andre verdiar av x er funksjonen eit polynom og er dermed kontinuerleg. Funksjonen er kontinuerleg for alle verdiar av x.
e) fx=2x-1,x<12,x=1x2,x>1
Tips til oppgåva
Sjølv om funksjonsforskrifta er delt i tre delar, gjeld det same kravet til kontinuitet som før.
Løysing
Vi undersøkjer om grafen er kontinuerleg for x=1.
Når x går mot 1 frå høgre, og så når x går mot 1 frå venstre:
Dei to grenseverdiane er like, men f1 har ein annan verdi (2). Funksjonen f er dermed ikkje kontinuerleg for x=1. For alle andre verdiar av x er funksjonen eit polynom og er med dette kontinuerleg. Funksjonen er kontinuerleg for x∈ℝ\{1}.
For å teikne grafen til funksjonen i GeoGebra, skriv vi
Dersom(x<1,2x-1,1<=x<=1,2,x>1,x^2)
GeoGebra teiknar dessverre ikkje punktet 1,f1=1,2, så det må vi gjere manuelt. Legg òg merke til at vi må bruke dobbel ulikskap i staden for å skrive x=1 i kommandoen.
2.2.11
Undersøk for kva verdi av a funksjonane er kontinuerlege.
a) fx=x-3,x<42,5x-a,x≥4
Løysing
Vi reknar først ut f4. Då må vi bruke det nedste funksjonsuttrykket, som gjeld for x≥4.
f4=2,5·4-a=10-a=limx→4+fx
Så må vi sjekke kva funksjonen går mot når x→4- .
limx→4-fx=4-3=1
Dersom funksjonen skal vere kontinuerleg, må vi krevje at
limx→4+fx=limx→4-fx=f4
Dette gir
10-a=1-a=1-10a=9
b) fx=x2-1,x<2ax,x≥2
Løysing
Vi reknar først ut f2. Då må vi bruke det nedste funksjonsuttrykket, som gjeld for x≥2.
f2=a·2=2a=limx→2+fx
Så må vi sjekke kva funksjonen går mot når x→2- .
limx→2-fx=22-1=3
Dersom funksjonen skal vere kontinuerleg, må vi krevje at
limx→2+fx=limx→2-fx=f2
Dette gir
2a=3a=32
c) fx=-2x2+3,x≤0-0,5x+a,x>0
Løysing
Vi reknar først ut f0. Då må vi bruke det øvste funksjonsuttrykket, som gjeld for x≤0.
f0=-2·02+3=3=limx→0-fx
Så må vi sjekke kva funksjonen går mot når x→0+ .
limx→0+fx=-0,5·0+a=a
Dersom funksjonen skal vere kontinuerleg, må vi krevje at
limx→0+fx=limx→0-fx=f0
Dette gir
a=3
2.2.12
Funksjonen fx=2x+2,x>1x2+2,x≤1 i oppgåve 2.2.10 c) er ikkje kontinuerleg.
a) Forklar korleis du kan endre på eitt av vilkåra i funksjonen slik at funksjonen blir kontinuerleg.
Løysing
Dersom vi set det andre vilkåret til x<1 i staden for x≤1, vil ikkje funksjonen lenger vere definert for x=1, og funksjonen vil vere kontinuerleg fordi han er kontinuerleg i heile definisjonsområdet sitt.
b) Forklar korleis du kan endre på til dømes det andre funksjonsuttrykket (utan å endre vilkåra) slik at funksjonen f blir kontinuerleg.
Løysing
Vi har at grafen til det første funksjonsuttrykket, som er den rette linja, går mot verdien 4 når x→1. Dette er 1 meir enn det grafen til det andre funksjonsuttrykket går mot når x→1. Dersom vi endrar det andre funksjonsuttrykket (ved å legge til 1) til x2+3, vil dei to grafdelane hengje saman, og funksjonen blir kontinuerleg. Det betyr at
fx=2x+2,x>1x2+3,x≤1
er ein kontinuerleg funksjon.
c) Vis matematisk at funksjonen f blir kontinuerleg når du gjer endringa i oppgåve b).
Løysing
Vi må undersøkje om funksjonen er kontinuerleg for x=1.