Ubestemde integral, bestemde integral og areal

I GeoGebra kan vi rekne ut bestemde integral med kommandoen "Integral(<Funksjon>,<Start>,<Slutt>)". Kommandoen verkar både i CAS og i algebrafeltet og bereknar ein talverdi for det bestemde integralet. Dersom vi skriv kommandoen i algebrafeltet, teiknar GeoGebra i tillegg opp det tilsvarande arealet i grafikkfeltet.

Du kan finne det ubestemde integralet av ein funksjon i GeoGebra med kommandoen "Integral(<Funksjon>)". Dersom du har fleire variablar i funksjonen, må du bruke varianten "Integral(<Funksjon>,<Variabel>)". Denne kommandoen kan òg brukast både i CAS og i algebrafeltet.

Dersom du skriv kommandoen i algebrafeltet, vil GeoGebra teikne den antideriverte funksjonen med integrasjonskonstant lik null. Dersom du skriv kommandoen i CAS, vil integrasjonskonstanten bli gitt som $$ c_1$$.

Vi tek utgangspunkt i funksjonen $$ f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2-x+4$$ og definerer denne i GeoGebra. For å berekne det ubestemde integralet, $$ F\left(x\right)$$, skriv vi kommandoen F(x)=Integral(f) i algebrafeltet. Dette gjer at vi får teikna funksjonen

$$ F\left(x\right)=\frac{1}{12}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2+4x$$

Grafen er vist i biletet nedanfor.

Vi bereknar òg det bestemde integralet av funksjonen $$ f$$ frå $x=3$ til $x=7$ , det vil seie $$ \begin{array}{c}{\int }_3^{7}f\left(x\right) dx\end{array}$$. Dette gjer vi ved å skrive kommandoen Integral(f,3,7) i algebrafeltet. Vi ser at området frå $x=3$ til $$ x=7$$ har vorte markert med blå farge i grafikkfeltet, og at talverdien er gitt som $$ A=22,33$$.

Vi skriv kommandoen Integral(f) i CAS og ser at GeoGebra då tek med integrasjonskonstanten i resultatet.

Kva skjer dersom delar av området det bestemde integralet avgrensar, er under $$ x$$-aksen? Test ut dette ved å først teikne grafen til funksjonen

$$ f\left(x\right)=x^3-x^2-4x+1$$

og deretter berekne det bestemde integralet mellom $$ x=-1$$ og $$ x=2$$.

Kva talverdi blir gitt for det bestemde integralet?

Løysing

Vi ser at det bestemde integralet har verdi $$ \mathrm{-2,25}$$.

Kva betyr det at vi får ein negativ verdi når vi tidlegare òg har snakka om eit areal? Kan eit areal ha negativ verdi?

Arealet kan ikkje vere negativt, men det bestemde integralet kan ha negativ verdi. Dette betyr at dersom vi skal berekne det "fysiske" arealet som blir avgrensa av grafen og linjene $$ x=-1$$ og $$ x=2$$, må vi bruke absoluttverdien av den delen av området som er under $$ x$$-aksen og summerer dette med arealet som er over $$ x$$-aksen. Prøv ut dette òg i GeoGebra.

Løysing

Vi skal finne arealet mellom $$ x=-1$$ og $$ x=2$$. Vi ser av grafen at det er eitt nullpunkt i dette området, og at noko av arealet ligg under $$ x$$-aksen.

Vi finn nullpunktet og bereknar det totale arealet frå $$ x=-1$$ til $$ x=2$$ ved å skrive følgande i CAS:

|Integral(f,-1,0.24)|+|Integral(f,0.24,2)|

Legg merke til at uttrykket etter innskriving automatisk skiftar til integralteikn.

Vi ser at arealet av dei to områda til saman er berekna til 7,33 i CAS, mens det bestemde integralet for det same område har verdi $$ \mathrm{-2,25}$$.