Samla mengde

Ein fabrikk produserer no 500 einingar per månad av ei vare. Bedrifta vil satse på ein ny marknad og reknar med at produksjonen vil auke med 2 prosent per månad dei to kommande åra.

a) Set opp eit uttrykk for talet på einingar per månad av vara, $$ E\left(x\right)$$, der $$ x$$ er talet på månader frå datoen i dag.

b) Bruk integrasjon til å berekne den samla produksjonen av vara dei neste to åra.

Løysing

Den samla produksjonen av vara dei neste to åra er 15 362 einingar.

Ei bedrift slepper i dag ut 1 000 tonn av ein klimagass per månad. Bedrifta har som målsetjing å redusere dette utsleppet med 4 prosent i gjennomsnitt per månad i dei neste åra.

a) Kor stort vil det månadlege utsleppet, $$ K\left(x\right)$$, av klimagassen vere om 1 år dersom bedrifta klarer målsetjinga si?

b) Berekn det samla utsleppet i løpet av det første året.

Løysing

Det samla utsleppet det første året vil vere 9 487 tonn.

Ved produksjon av ei vare er etterspørselen per veke gitt ved

$$ E\left(x\right)=100e^{0,01x}, x\in \left[1,52\right]$$

der $$ x=1$$ betyr veke 1, $$ x=2$$ betyr veke 2 og så vidare.

a) Finn etterspørselen av vara etter 26 veker.

Løysing

Etterspørselen per veke etter 26 veker er 130 einingar.

b) Finn kor mange veker det går før etterspørselen er på 160 einingar i veka.

Løysing

Vi løyser ei likning i CAS:

Det tek 47 veker før etterspørselen per veke er på 160 einingar i veka.

c) Finn den samla etterspørselen for 52 veker.

Løysing

Den samla etterspørselen frå veke 1 til og med veke 52 blir 6 720 einingar.

d) Kor mange veker tek det før den samla etterspørselen blir 10 000 einingar?

Løysing

Det tek 70 veker før den samla etterspørselen blir 10 000 einingar.

e) Lag algoritmen for eit program som løyser likninga i oppgåve d). Programmet skal bruke rektangelmetoden til å berekne det samla arealet, og det skal be om den ønskte samla mengda ved oppstart. Lag deretter programmet og test det med 10 000 einingar. Samanlikn med resultatet du fekk i d).

1import math
2# Definerer funksjonen f
3def f(x):
4    return 100*math.e**(0.01*x)
5
6# Informasjon gis, og inndata registreres.
7print("Dette programmet ber om ein verdi for ")
8print("ønskt samla mengde for funksjonen f(x)=100*e^(0.01x).")
9print("Deretter blir talet på veker før denne verdien blir nådd, berekna.")
10samlaMengde = float(input("Skriv inn ønskt samla mengde: "))
11
12# Set breidda på rektangla
13deltax = 0.01
14
15# Set startverdiar for arealet
16areal=0
17
18# Set startverdi for x
19xVerdi=1
20
21# Lykkje som bereknar areal av kvart rektangel og summerer etter kvart
22while areal<samlaMengde:
23    # Bereknar neste x-verdi
24    xVerdi=xVerdi+deltax
25    rektangelAreal=f(xVerdi)*deltax
26    areal=areal+f(xVerdi)*deltax
27
28print(f"Det tek {xVerdi:.2f} veker før samla mengde er blitt {samlaMengde:.0f}.")

Bedrifta Utslepp AS hadde i 2021 eit totalt utslepp av CO₂ på 5 000 tonn. Dei fekk eit pålegg frå styresmaktene om å redusere utsleppa med 20 prosent per år dei neste 5 åra, gjeldande frå 1. januar 2023. Mengda utslepp skulle derfor reduserast etter formelen $$ U\left(x\right)=5 000·0,8^x$$, der $$ x$$ er talet på år etter 1. januar 2023.

Utslepp AS tolkar pålegget om å redusere utsleppa med 20 prosent per år slik at dei kan gjere ein reduksjon på 20 prosent éin gong i løpet av året. Dei planlegg derfor å gjere ein slik reduksjon 31. desember kvart år, den første gongen 31. desember 2023.

a) Teikn grafen til $$ U\left(x\right)$$ ved hjelp av GeoGebra. Lag òg ei grafisk framstilling i det same koordinatsystemet som viser mengda utslepp kvart år frå 1. januar 2023 til 31. desember 2027 dersom bedrifta reduserer utsleppa med 20 prosent 31. desember kvart år. Kva vil den totale mengda utslepp for desse 5 åra bli?

Løysing

Vi ser at den totalen mengda utslepp desse 5 åra ut frå denne tolkinga vil vere 16 808 tonn CO₂.

Ein naturvernorganisasjon meiner at Utslepp AS ikkje tolkar pålegget rett, og at reduksjonen bør gjerast 1. januar kvart år, med den første reduksjonen 1. januar 2023.

b) Lag ei ny grafisk framstilling som viser mengda utslepp kvart år frå 1. januar 2023 til 31. desember 2027 dersom bedrifta følger råda til naturvernorganisasjonen. Kva blir det totale utsleppet over 5 år dersom naturvernorganisasjonen får det slik dei vil?

Løysing

Vi ser at tolkinga til naturvernorganisasjonen fører til at utsleppet for desse 5 åra blir redusert til 13 446 tonn CO₂.

Bedrifta finn i 2022 ei teknisk løysing som gjer at utsleppa kan reduserast kontinuerleg ut frå funksjonen $$ U\left(x\right)$$, og denne løysinga blir godteken av alle partar.

c) Lag ei grafisk framstilling som viser mengda utslepp frå 1. januar 2023 til 31. desember 2027 ved kontinuerleg reduksjon. Berekn òg den totale mengda utslepp for desse 5 åra for denne løysinga.

Løysing

Vi ser at dei totale utsleppa blir 15 065 tonn CO₂ dersom bedrifta reduserer utsleppa kontinuerleg. Dette er ein mellomting av utsleppa vi berekna i dei to tidlegare metodane.