Ubestemde integral, bestemde integral og areal
3.1.20
Definer funksjonane i CAS, og bruk så CAS til å berekne dei ubestemde integrala til kvar funksjon.
a)
Løysing
b)
Løysing
c)
Løysing
d) Sjå på resultata i oppgåve a), b) og c). Kva samanheng ser du mellom kvar funksjon og det ubestemde integralet til funksjonen?
Løysing
Det ubestemde integralet er eit polynom som er ein grad høgare enn polynomet i den tilhøyrande funksjonen.
Vi ser òg at kvart ledd i det ubestemde integralet er dividert på eit tal som er ein større enn eksponenten leddet hadde i den opphavlege funksjonen.
3.1.21
Bruk funksjonane frå oppgåve 3.1.20, og berekn dei bestemde integrala som er angitt nedanfor, både ved hjelp av CAS og ved grafisk løysing. Legg merke til at talverdiane (resultatet) av dei bestemde integrala blir gitt både i CAS og i grafikkfeltet.
a)
Løysing
b)
Løysing
c)
Løysing
3.1.22
Vi tek utgangspunkt i funksjonen .
a) Berekn
Løysing
Integralet kan bereknast både i algebrafeltet, grafisk og i CAS.
Løysing i algebrafeltet:
Grafisk løysing, som kjem fram ved løysing i algebrafeltet:
Løysing i CAS:
b) Berekn arealet av området som er avgrensa av grafen til og linjene og , ved å rekne ut arealet av området over -aksen og arealet av området under -aksen kvar for seg og summere desse. Samanlikn med verdien av det bestemde integralet som vart berekna i a).
Tips
Start med å finne nullpunktet for funksjonen f som ligg mellom og .
Løysing
Vi vel å løyse oppgåva i CAS, og sjølv om vi som hovudregel skal bruke eksakte løysingar i CAS, vel vi å bruke numerisk løysing (tilnærma verdi) i dette tilfellet. Då er det enklare å samanlikne med det bestemde integralet som var berekna i a).
Vi ser at det bestemde integralet i oppgåve a) svarer til differansen mellom Areal1 og Areal2: .
3.1.23
I denne oppgåva skal du ved hjelp av CAS berekne areal som er avgrensa av grafen, -aksen og to loddrette linjer. Sjølv om løysinga skal gjerast i CAS, vil det vere nyttig å studere grafen i kvart enkelt tilfelle, slik at du veit kva område det er snakk om.
a) Funksjonen er gitt ved . Berekn arealet som er avgrensa av grafen til , -aksen og linjene og .
Løysing
Vi definerer funksjonen i CAS:
Vi studerer grafen som blir teikna for å få eit inntrykk av området som vi skal berekne arealet av, og vi ser at det består av to delområde: eitt over -aksen og eitt under -aksen.
Vi finn nullpunkta og bereknar arealet i CAS.
NB: Ver merksam på at det kan variere korleis det bestemde integralet blir presentert i CAS, noko vi kan sjå av berekninga nedanfor. Inntastinga er den same som over.
b) Funksjonen er gitt ved . Berekn arealet som er avgrensa av grafen til , -aksen og linjene og .
Løysing
Vi definerer funksjonen i CAS.
Vi studerer grafen som blir teikna for å få eit inntrykk av området som vi skal berekne arealet av. Vi ser at området består av tre delområde, der to er under -aksen og eitt er over -aksen.
Vi finn nullpunkta og bereknar arealet i CAS.
c) Funksjonen er gitt ved . Berekn arealet som er avgrensa av grafen til , -aksen og linjene og .
Løysing
Vi definerer funksjonen i CAS.
Vi studerer grafen som blir teikna for å få eit inntrykk av områda som det skal bereknast areal av. Vi ser at området vi skal berekne arealet av, består av fire område.
Vi finn nullpunkta i CAS. Sidan det er fire bestemde integral som skal bereknast, vil ei samla utrekning bli lang og uoversiktleg i CAS. Vi vel derfor å rekne kvart areal for seg og summere desse til slutt.
