Oppgåve

Ubestemde integral, bestemde integral og areal

Vi kan finne eit uttrykk for eit ubestemt integral og berekne storleiken av eit bestemt integral. Vi kan òg berekne areal som blir avgrensa på den same måten som bestemde integral. Her kan du prøve dette ut.

3.1.20

Definer funksjonane i CAS, og bruk så CAS til å berekne dei ubestemde integrala til kvar funksjon.

a) $f (x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$

Løysing

Berekningar i CAS, to linjer. I linje 1 er det skrive f av x kolon er lik x i tredje pluss x i andre pluss x pluss 1. Svaret er det same. I linje 2 er det skrive Integral av f. Svaret er ein fjerdedels x i fjerde pluss ein tredjedels x i tredje pluss ein todels x i andre pluss x pluss c med låg indeks 1. Skjermutklipp. — Bilete / CC BY-SA 4.0

b) $g (x) = 5 x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1$

Løysing

Berekning i CAS, to linjer. I linje 1 er det skrive g av x kolon er lik 5 gonger x i fjerde pluss 4 gonger x i tredje minus 3 gonger x i andre minus 2 x pluss 1. Svaret er det same. I linje 2 er det skrive Integral av g. Svaret er x i femte pluss x i fjerde minus x i tredje minus x i andre pluss x pluss c med låg indeks 1. Skjermutklipp. — Bilete / CC BY-SA 4.0

c) $h (x) = 7 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x + 5$

Løysing

Berekning i CAS, to linjer. I linje 1 er det skrive h av x kolon er lik 7 x i tredje pluss 5 x i andre pluss 3 x pluss 5. Svaret er det same. I linje 2 er det skrive Integral av h. Svaret er 7 fjerdedels x i fjerde pluss 5 tredjedels x i tredje pluss 3 todels x i andre pluss 5 x pluss c med låg indeks 1. Skjermutklipp. — Bilete / CC BY-SA 4.0

d) Sjå på resultata i oppgåve a), b) og c). Kva samanheng ser du mellom kvar funksjon og det ubestemde integralet til funksjonen?

Løysing

Det ubestemde integralet er eit polynom som er ein grad høgare enn polynomet i den tilhøyrande funksjonen.

Vi ser òg at kvart ledd i det ubestemde integralet er dividert på eit tal som er ein større enn eksponenten leddet hadde i den opphavlege funksjonen.

3.1.21

Bruk funksjonane frå oppgåve 3.1.20, og berekn dei bestemde integrala som er angitt nedanfor, både ved hjelp av CAS og ved grafisk løysing. Legg merke til at talverdiane (resultatet) av dei bestemde integrala blir gitt både i CAS og i grafikkfeltet.

a) $\int_{- 1}^{1} f (x) d x$

Løysing

Berekning i CAS, to linjer. På linje 1 står det f av x kolon er lik x i tredje pluss x i andre pluss x pluss 1. Svaret er det same. På linje 2 står det Integral av f komma minus 1 komma 1. Svaret er 8 tredjedelar. Skjermutklipp. — Bilete / CC BY-SA 4.0

Grafen til f teikna i GeoGebra. Grafen går oppover og skjer x-aksen i x er lik minus 1, og han krummar deretter først med opning ned. Grafen skjer y-aksen ved y er lik 1, og etter det krummar han med opning opp og stig raskt. Området angitt av det bestemde integralet er markert. Storleiken på området er 2,67. Skjermutklipp. — Bilete: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

b) $\int_{- 1}^{1} g (x) d x$

Løysing

Berekning i CAS, to linjer. På linje 1 står det g av x kolon er lik 5 x i fjerde pluss 4 x i tredje minus 3 x i andre minus 2 x pluss 1. Svaret er det same. På linje 2 står det Integral av g komma minus 1 komma 1. Svaret er 2. Skjermutklipp. — Bilete / CC BY-SA 4.0

Grafen til g teikna i GeoGebra. Grafen er over x-aksen i heile området han er teikna for. Grafen har to botnpunkt for cirka x er lik minus 1 og x er lik 0,5. Grafen har eit toppunkt for cirka minus 0,2. Området for det bestemde integralet er markert, og storleiken er angitt til 2. Skjermutklipp. — Bilete: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

c) $\int_{- 1}^{0} h (x) d x$

Løysing

Berekning i CAS, to linjer. På linje 1 står det h av x kolon er lik 7 x i tredje pluss 5 x i andre pluss 3 x pluss 5. Svaret er det same. På linje 2 står det Integral av h komma minus 1 komma 0. Svaret er 41 tolvdelar. Skjermutklipp. — Bilete / CC BY-SA 4.0

Grafen til h teikna i GeoGebra. Grafen skjer x-aksen i x er lik minus 1 og stig bratt mot høgre. Grafen skjer y-aksen i y er lik 5. Området til det bestemde integralet er markert, og storleiken er angitt til 3,42. Skjermutklipp. — Bilete: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

3.1.22

Vi tek utgangspunkt i funksjonen $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 4$ .

a) Berekn $\begin{matrix} \int_{- 3}^{0} f (x) d x . \end{matrix}$

Løysing

Integralet kan bereknast både i algebrafeltet, grafisk og i CAS.

Løysing i algebrafeltet:

Definisjon av funksjonen f og berekning av det bestemde integralet frå x er lik minus 3 til x er lik 0 i algebrafeltet i GeoGebra, to linjer. På den første linja står det f av x er lik x i tredje pluss 4 x i andre minus 4. På den andre linja står det a er lik Integral parentes f komma minus 3 komma 0 parentes slutt. Resultatet er 3,75. Skjermutklipp. — Bilete: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

Grafisk løysing, som kjem fram ved løysing i algebrafeltet:

Grafen til f teikna i GeoGebra. Grafen går oppover og skjer x-aksen ved x er lik minus 4, og han stig mot eit toppunkt for cirka x er lik minus 2,7 og y er lik cirka 5,5. Deretter søkk grafen via eit skjeringspunkt med x-aksen i x er lik cirka minus 1,3 til eit botnpunkt som ligg på y-aksen i y er lik minus 4. Vidare stig grafen bratt oppover og skjer x-aksen i x er lik 1. Området til det bestemde integralet er markert, og storleiken er angitt til 3,75. Skjermutklipp. — Bilete: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

Løysing i CAS:

Berekning i CAS, to linjer. I linje 1 står det f av x kolon er lik x i tredje pluss 4 x i andre minus 4. Svaret er det same. I linje 2 står det Integral av f komma minus 3 komma 0. Svaret er 15 fjerdedelar. Skjermutklipp. — Bilete / CC BY-SA 4.0

b) Berekn arealet av området som er avgrensa av grafen til $f$ og linjene $x = - 3$ og $x = 0$ , ved å rekne ut arealet av området over $x$ -aksen og arealet av området under $x$ -aksen kvar for seg og summere desse. Samanlikn med verdien av det bestemde integralet som vart berekna i a).

Tips

Start med å finne nullpunktet for funksjonen f som ligg mellom $x = - 3$ og $x = 0$ .

Løysing

Vi vel å løyse oppgåva i CAS, og sjølv om vi som hovudregel skal bruke eksakte løysingar i CAS, vel vi å bruke numerisk løysing (tilnærma verdi) i dette tilfellet. Då er det enklare å samanlikne med det bestemde integralet som var berekna i a).

Berekning av areal i CAS, fire linjer. I linje 3 er det skrive Nullpunkt parentes f parentes slutt. Svaret er x-verdiane minus 3,71, minus 1,19 og 0,9. I linje 4 er det skrive Areal 1 kolon er lik absoluttverditeikn Integral parentes f komma minus 3 komma minus 1,19 parentes slutt absoluttverditeikn slutt. Tilnærma svar er Areal 1 kolon er lik 6,76. I linje 5 står det Areal 2 kolon er lik absoluttverditeikn Integral parentes f komma minus 1,19 komma 0 parentes slutt absoluttverditeikn slutt. Tilnærma svar er Areal 2 kolon er lik 3,01. I linje 6 står det TotaltAreal kolon er lik Areal 1 pluss Areal 2. Tilnærma svar er TotaltAreal kolon er lik 9,78. Skjermutklipp. — Bilete / CC BY-SA 4.0

Vi ser at det bestemde integralet i oppgåve a) svarer til differansen mellom Areal1 og Areal2: $6, 76 - 3, 01 = 3, 75$ .

3.1.23

I denne oppgåva skal du ved hjelp av CAS berekne areal som er avgrensa av grafen, $x$ -aksen og to loddrette linjer. Sjølv om løysinga skal gjerast i CAS, vil det vere nyttig å studere grafen i kvart enkelt tilfelle, slik at du veit kva område det er snakk om.

a) Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ . Berekn arealet som er avgrensa av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = - 2$ og $x = 2$ .

Løysing

Vi definerer funksjonen i CAS:

Definisjon av funksjonen f i CAS, ei linje. Det står f av x kolon er lik x i tredje minus x i andre minus 4 x pluss 4. Svaret er det same. Skjermutklipp. — Bilete / CC BY-SA 4.0

Vi studerer grafen som blir teikna for å få eit inntrykk av området som vi skal berekne arealet av, og vi ser at det består av to delområde: eitt over $x$ -aksen og eitt under $x$ -aksen.

Grafen til funksjonen f teikna i GeoGebra. Grafen skjer x-aksen i x er lik minus 2, x er lik 1 og x er lik 2. Grafen har toppunkt for x er lik minus 1 og botnpunkt for x er lik 1,5. Skjermutklipp. — Bilete: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

Vi finn nullpunkta og bereknar arealet i CAS.

CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 1 er det skrive Nullpunkt parentes f parentes slutt. Svaret er x-verdiane minus 2, 1 og 2. På linje 2 er det skrive Arealet kolon er lik absoluttverditeikn Integral parentes f komma minus 2 komma 1 parentes slutt absoluttverditeikn slutt pluss absoluttverditeikn Integral parentes f komma 1 komma 2 parentes slutt absoluttverditeikn slutt. Arealet blir 71 delt på 6. Skjermutklipp. — Bilete / CC BY-SA 4.0

NB: Ver merksam på at det kan variere korleis det bestemde integralet blir presentert i CAS, noko vi kan sjå av berekninga nedanfor. Inntastinga er den same som over.

b) Funksjonen $g$ er gitt ved $g (x) = x^{4} - 10 x^{2} + 9$ . Berekn arealet som er avgrensa av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = - 3$ og $x = 3$ .

Løysing

Vi definerer funksjonen i CAS.

Definisjon av funksjon i CAS, ei linje. Det står g parentes x parentes slutt kolon er lik x opphøgd i fjerde minus 10 x opphøgd i andre pluss 9. Svaret er det same uttrykket. Skjermutklipp. — Bilete / CC BY-SA 4.0

Vi studerer grafen som blir teikna for å få eit inntrykk av området som vi skal berekne arealet av. Vi ser at området består av tre delområde, der to er under $x$ -aksen og eitt er over $x$ -aksen.

Grafen til g teikna i GeoGebra. Grafen har fire skjeringspunkt med x-aksen, for x er lik minus 3, x er lik minus 1, x er lik 1 og x er lik 3. Grafen har botnpunkt ved cirka minus 2 og minus 16, toppunkt ved 0 og 9 og botnpunkt ved cirka 2 og minus 16. Skjermutklipp. — Bilete: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

Vi finn nullpunkta og bereknar arealet i CAS.

CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 1 er det skrive Nullpunkt parentes g parentes slutt. Svaret er x-verdiane minus 3, minus 1, 1 og 3. På linje 2 er det skrive Arealet kolon er lik absoluttverditeikn Integral parentes g komma minus tre komma minus 1 parentes slutt absoluttverditeikn slutt pluss absoluttverditeikn Integral parentes g komma minus 1 komma 1 parentes slutt absoluttverditeikn slutt pluss absoluttverditeikn Integral parentes g komma 1 komma 3 parentes slutt absoluttverditeikn slutt. Arealet blir 784 delt på 15. Skjermutklipp. — Bilete / CC BY-SA 4.0

c) Funksjonen $h$ er gitt ved $h (x) = x^{5} + 3 x^{4} - 5 x^{3} - 15 x^{2} + 4 x + 12$ . Berekn arealet som er avgrensa av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = - 3$ og $x = 2$ .

Løysing

Vi definerer funksjonen i CAS.

Definisjon av funksjonen i CAS. Det står f parentes x parentes slutt kolon er lik x opphøgd i femte pluss 3 x opphøgd i fjerde minus 5 x opphøgd i tredje minus 15 x opphøgd i andre pluss 4 x pluss 12. Svaret er det same. Skjermutklipp. — Bilete / CC BY-SA 4.0

Vi studerer grafen som blir teikna for å få eit inntrykk av områda som det skal bereknast areal av. Vi ser at området vi skal berekne arealet av, består av fire område.

Grafen til h teikna i GeoGebra. Grafen skjer x-aksen i x er lik minus 3, x er lik minus 2, x er lik minus 1, x er lik 1 og x er lik 2. Grafen stig frå venstre, har så toppunkt ved cirka minus 3 og 6, botnpunkt ved cirka minus 1,5 og 3, nytt toppunkt ved cirka 0,1 og 12 og siste botnpunkt ved cirka 1,6 og minus 10. Skjermutklipp. — Bilete: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

Vi finn nullpunkta i CAS. Sidan det er fire bestemde integral som skal bereknast, vil ei samla utrekning bli lang og uoversiktleg i CAS. Vi vel derfor å rekne kvart areal for seg og summere desse til slutt.

3.1.20

3.1.21

3.1.22

3.1.23

Reglar for bruk av teksten "Ubestemde integral, bestemde integral og areal"