Berekne bestemde integral og areal ved rekning

Vi har tidlegare berekna både bestemde og ubestemde integral ved hjelp av CAS, men korleis kan vi ut frå definisjonen berekne det bestemde integralet ved rekning, utan digitale hjelpemiddel?

Vi startar med å repetere at vi angir det ubestemde integralet til funksjonen $$ f\left(x\right)$$ som $$ \int f\left(x\right)dx$$ og det bestemde integralet for $$ f\left(x\right)$$ frå $$ x=a$$ til $$ x=b$$ som $$ {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$$.

Vi har òg sett at det bestemde integralet svarer til arealet mellom grafen og $$ x$$-aksen, og at det blir definert som

$$ {\int }_a^{b}f\left(x\right) dx=\underset{∆x\to 0}{\lim }\sum _a^{b}f\left(x\right)·∆x$$

Rektangelmetoden inneber at dersom vi deler området under grafen i rektangel med lik breidde, finn vi eit tilnærma areal for området mellom $$ x$$-aksen og grafen ved å summere areala av desse rektangla. Når vi så lar breidda av rektangla, $$ ∆x$$, gå mot 0, nærmar summen av rektangla seg det eksakte arealet av området.

Er det ein samanheng mellom antiderivasjon og summen av areala til rektangla?

For å finne ut dette tek vi utgangspunkt i grafen til ein vilkårleg funksjon $$ f$$ og markerer området mellom $$ x$$-aksen og grafen frå ein gitt verdi $$ a$$ til ein vilkårleg verdi $$ x$$. Arealet av det markerte området vil dermed vere avhengig av $$ x$$, og det vil med andre ord vere ein funksjon av $$ x$$. Vi angir derfor arealet som $$ A\left(x\right)$$.

Dersom vi no aukar storleiken på området i $$ x$$-retninga med $$ ∆x$$, vil vi få eit totalt areal som går frå $$ a$$ til $$ \left(x+∆x\right)$$. Det totale arealet vil bli $$ A\left(x+∆x\right)$$, og arealet vi har lagt til ("tilleggsarealet"), kan angivast som $$ A\left(x+∆x\right)-A\left(x\right)$$.

Dersom vi no lar $$ ∆x$$ bli mindre og mindre, vil tilleggsarealet nærme seg forma av eit rektangel, og sidan den lågaste høgda av dette rektangelet er gitt ved $$ f\left(x\right)$$, vil storleiken på dette tilleggsarealet nærme seg $$ f\left(x\right)·∆x$$.

Ut frå dette kan vi setje opp følgjande samanheng når $$ ∆x\to 0$$ :

$$ A\left(x+∆x\right)-A\left(x\right)\approx f\left(x\right)·∆x$$

Vi kan vidare skrive om uttrykket ved å dele på $$ ∆x$$ på begge sider:

$$ \frac{A\left(x+∆x\right)-A\left(x\right)}{∆x}\approx f\left(x\right)$$

Vi ser at venstre side minner om definisjonen av den deriverte, så når $$ ∆x$$ går mot 0, får vi at

$$ A^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right)$$

Her kan vi integrere på kvar side og får

$$ \begin{array}{c}A\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx\end{array}$$

Dersom vi bruker $$ F\left(x\right)$$ som nemning for den antideriverte til $$ f\left(x\right)$$, får vi følgande samanheng for arealet frå $$ x=a$$ til $$ x=b$$:

$$ A\left(x\right)=F\left(x\right)+C $$

Dersom vi skulle berekne arealet $$ A\left(a\right)$$, må det vere lik 0. Kva er grunnen til det?

$$ \begin{array}{rcl}A\left(a\right) & =& 0\\ F\left(a\right)+C & =& 0\\ C & =& -F\left(a\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}A\left(b\right) & =& F\left(b\right)+C \\ & =& F\left(b\right)+\left(-F\left(a\right)\right)\\ & =& F\left(b\right)-F\left(a\right)\end{array}$$

Sidan $$ A\left(b\right)={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$$, kan vi setje opp følgande samanheng:

$$ {\int }_a^{b}f\left(x\right) dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$$

Denne samanhengen kallar vi, som nemnt i ein tidlegare artikkel, for fundamentalteoremet i matematisk analyse. Det bygger på at derivasjon og integrasjon er motsette operasjonar.

Når vi bereknar det bestemde integralet, er det vanleg å synleggjere det ubestemde integralet i ei mellomrekning. Vi angir dette med firkantparentesar der grenseverdiane til det bestemde integralet blir angitt ved endeparentesen:

$$ {\int }_a^{b}f\left(x\right) dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$$

Legg merke til at integrasjonskonstanten ikkje har noko å seie i berekninga av det bestemde integralet.

Vi har funksjonen $$ f\left(x\right)=x^3-3x^2+x$$, og vi ønsker å berekne det bestemde integralet frå $$ x=1$$ til $$ x=2$$.

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}{\int }_1^2\left(x^3-3x^2+x\right) dx\\ \begin{array}{c} \end{array}={\left[\frac{1}{4}{x}^4-3·\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2\right]}_1^2\\ \begin{array}{c} \end{array}=\frac{1}{4}·2^4-2^3+\frac{1}{2}·2-\left(\frac{1}{4}·1^4-\frac{1}{3}·1^3+\frac{1}{2}·1^2\right)\\ \begin{array}{c} \end{array}=-2-\left(-\frac{1}{4}\right)\\ \begin{array}{c} \end{array}=-2+\frac{1}{4}\\ \begin{array}{c} \end{array}=-\frac{7}{4}\end{array} \\ \end{gathered}$$

Resultatet som vi får ved berekning av det bestemde integralet, har vi tidlegare sett har samanheng med arealet av området det bestemde integralet representerer. Men kvifor er ikkje det bestemde integralet alltid det same som arealet av området som det bestemde integralet definerer?

Figuren nedanfor viser grafen til $$ f$$ frå dømet over, og området som det bestemde integralet definerer, er markert. Vi ser at grafen er under $$ x$$-aksen i heile dette området, og det bestemde integralet er derfor negativt, $$ -1,75$$. Arealet av området vil vere absoluttverdien av det bestemde integralet, det vil seie $$ 1,75$$.

Korleis bereknar vi det bestemde integralet og arealet dersom grafen både er over og under $$ x$$-aksen i området som det bestemde integralet definerer?

Vi har følgande funksjon:

$$ f\left(x\right)=x^3-x$$

Vi ønsker å berekne det bestemde integralet $$ \begin{array}{c}{\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx\end{array}$$ og arealet av området som det bestemde integralet definerer.

Vi bereknar først det bestemde integralet:

$$ \begin{array}{rcl}{\int }_{-1}^1(x^3-x)dx & =& {\left[\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2\right]}_{-1}^1\\ & =& \frac{1}{4}·1^4-\frac{1}{2}·1^2-\left(\frac{1}{4}·{\left(-1\right)}^4-\frac{1}{2}{\left(-1\right)}^2\right)\\ & =& -\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{4}\right)\\ & =& 0\end{array}$$

Sidan det bestemde integralet blir 0, skjønner vi at grafen er både over og under $$ x$$-aksen i det gitte området.

For å kunne berekne arealet rett må vi undersøke om funksjonen har nullpunkt i det aktuelle intervallet.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^3-x & =& 0\\ x\left(x^2-1\right) & =& 0\\ x\left(x-1\right)\left(x+1\right) & =& 0\end{array}$$

$$ x=-1 \vee x=0 \vee x=1$$

Vi ser at funksjonen har tre nullpunkt, og alle nullpunkta er i det aktuelle intervallet. Vi bereknar det bestemde integralet mellom to og to etterfølgande nullpunkt:

$$ \begin{array}{rcl}{\int }_{-1}^0\left(x^3-x\right)dx & =& {\left[\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2\right]}_{-1}^0\\ & =& \frac{1}{4}·0^4-\frac{1}{2}·0^2-\left(\frac{1}{4}·{\left(-1\right)}^4-\frac{1}{2}{\left(-1\right)}^2\right)\\ & =& \frac{1}{4}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{\int }_0^1\left(x^3-x\right)dx & =& {\left[\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^1\\ & =& \frac{1}{4}·1^4-\frac{1}{2}·1^2-\left(\frac{1}{4}·0^4-\frac{1}{2}{0}^2\right)\\ & =& -\frac{1}{4}\end{array}$$

Vi kan anten berekne arealet som summen av absoluttverdiane til kvart av dei bestemde integrala, eller vi kan trekke frå den negative verdien. Vi vel å bruke metoden med å summere absoluttverdiar:

Arealet $$ =\left|{\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)dx\right|+\left|{\int }_0^{1}f\left(x\right)dx\right|=\left|\frac{1}{4}\right|+\left|-\frac{1}{4}\right|=\frac{1}{2}$$

Vi ser at det bestemde integralet vart 0, mens arealet av det avgrensa området vart $$ \frac{1}{2}$$.

Nedanfor har vi teikna grafen til $$ f$$ i GeoGebra og markert arealet. Integralet blir, som vi ser nedanfor, 0 dersom arealet over $$ x$$-aksen er like stort som arealet under $$ x$$-aksen.