Grunnleggande reknereglar for integrasjon

Det finst integrasjonsreglar som svarer til derivasjonsreglane. Sjølv om integrasjon ofte blir utført med digitale verktøy, er det viktig å kunne integrasjonsreglane, både for ubestemde og bestemde integral.

Hugs at integrasjonsreglane for ubestemde integral kan bevisast ved å derivere høgre side.

$$ \int k dx=kx+C$$

Døme

$$ \begin{array}{c}\int 5 dx=5x+C\end{array}$$

$$ \begin{array}{c}\int \left(-\frac{2}{3}\right) dx=-\frac{2}{3}x+C\end{array}$$

Korleis kan integrasjonsregelen for ein konstant grunngivast i det vi har sett tidlegare om at resultatet av integrasjon av eit polynom er ein grad høgare enn funksjonen vi tok utgangspunkt i?

Dersom uttrykket som skal integrerast, består av fleire funksjonar, anten i form av summar, differansar eller produkt, gjeld følgande:

$$ \begin{array}{c}\int \left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx\\ \\ \int \left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx\\ \\ \int k·f\left(x\right)dx=k·\int f\left(x\right)dx\end{array}$$

$$ \int x^{r}dx=\frac{1}{r+1}{x}^{r+1}+C , r\ne -1$$

Døme

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\int x^{2}dx=\frac{1}{2+1}{x}^{2+1}+C=\frac{1}{3}{x}^3+C\end{array} \\ \end{gathered}$$

$$ \begin{array}{c}\int x^{3}dx=\frac{1}{3+1}{x}^{3+1}+C=\frac{1}{4}{x}^4+C\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{1}{x^3}dx & =& \int x^{-3}dx \\ & =& \frac{1}{-3+1}{x}^{-3+1}+C\\ & =& \frac{1}{2}{x}^{-2}+C \\ & =& \frac{1}{x^2}+C\\ & & \end{array}$$

Legg merke til at denne regelen ikkje gjeld for $$ r=-1$$. Vi skal straks komme tilbake til korleis vi skal utføre integrasjonen i dette spesielle tilfellet, men kvifor vil det vere umogleg å bruke denne regelen når $$ r=-1$$?

Regelen for integrasjon av potensfunksjonar kan brukast på potensar med brøkeksponentar. Dette gjer at vi òg kan bruke den same integrasjonsregelen for rotuttrykk. Kva er samanhengen mellom eit rotuttrykk og ein potens med brøkeksponent?

Bruk reglane for integrasjon av potensfunksjonar til å bestemme $$ \begin{array}{c}\int \sqrt{x}dx\end{array}$$.

Vi får som forklart over ein spesiell situasjon når $$ r=-1$$ i integralet $$ \begin{array}{c}\int x^{r}dx\end{array}$$, det vil seie dersom vi skal utføre integrasjonen $$ \begin{array}{c}\int x^{-1}dx\end{array}$$. For å finne ein antiderivert i dette tilfellet kan vi bruke potensreglane og skrive om integranden: $$ \begin{array}{c}\int x^{-1}dx=\int \frac{1}{x}dx\end{array}$$.

Tenk tilbake til det du lærte om derivasjon i R1. Kva funksjon gir $$ \frac{1}{x}$$ som resultat etter derivasjon?

Ut frå det vi har lært om derivasjon, kjem vi med følgande påstand: Når $r=-1$, gjeld

$$ \int \frac{1}{x}dx=\ln x+C , x>0$$

Kvifor skriv vi at $$ x$$ må vere større enn $$ 0$$ her?

Vi skal no sjå at det òg er mogleg å utføre integrasjonen $$ \int \frac{1}{x}dx$$ når $$ x<0$$. Funksjonen $$ \frac{1}{x}$$ er ikkje definert for $$ x=0$$, altså eksisterer ikkje integralet i dette punktet.

Funksjonen $$ \ln \left|x\right|$$ er definert for alle verdiar av $x$ ulikt frå null sidan absoluttverdien av eit negativt tal er lik eit positivt tal med den same talverdien.

Her ser du grafen til funksjonen $$ f\left(x\right)=\ln \left|x\right|$$.

Ut frå definisjonen av absoluttverdi har vi at $$ f\left(x\right)=f\left(-x\right)$$, og grafen vil derfor bli spegla om $$ y$$-aksen.

Vi har teikna tangentar til grafen for $x=2$ og for $x=-2$.

Stigingstalet til tangenten i eit punkt er lik den deriverte i punktet.

Stigingstalet til tangenten når $x=-2$, er lik $$ -\frac{1}{2}$$. Det betyr at $$ f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{1}{2}$$.

Stigingstalet til tangenten når $x=2$, er lik $0,5=\frac{1}{2}$. Det betyr at $$ f^{\text{'}}\left(2\right)=\frac{1}{2}$$.

Vi kan vise at det alltid gjeld at $$ {\left(\ln \left|x\right|\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x}$$.

Definisjonen av eit ubestemt integral gir ut frå dette følgande integrasjonsregel:

$$ \int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C , x\ne 0$$

Frå derivasjonsreglane hugsar vi at den deriverte av $$ e^x$$ er $$ e^x$$. Det betyr at det same gjeld for den integrerte, men den integrerte får som polynomfunksjonane ein konstant i tillegg.

$$\begin{gathered} \\ \int e^{x}dx=e^x+C \\ \end{gathered}$$

Korleis deriverer vi ein funksjon av type $$ f\left(x\right)=e^{kx}$$?

Dersom vi har ein funksjon av type $$ f\left(x\right)=e^{kx}$$, får vi denne integrasjonsregelen:

$$ \int e^{kx}dx=\frac{1}{k}{e}^{kx}+C$$

Ei generell utgåve av eksponentialfunksjonen er at grunntalet kan vere eit vilkårleg tal, det vil seie noko anna enn $$ e$$. Då vil integrasjonen i tillegg gi ein brøk med $$ \ln $$ i nemnaren.

$$ \int a^{x}dx=\frac{1}{\ln a}{a}^x+C , a>0$$

Vis ved derivasjon at denne regelen stemmer.

Døme

$$ \begin{array}{c}\int e^{7x}dx=\frac{1}{7}{e}^{7x}+C\end{array}$$

$$ \begin{array}{c}\int 3^{x}dx=\frac{1}{\ln 3}·3^x+C\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\int \left(5x^2-3e^{4x}\right)dx & =& 5\int x^{2}dx-3\int e^{4x}dx\\ & =& \frac{5}{3}{x}^3-\frac{3}{4}{e}^{4x}+C\end{array}$$

Korleis kan vi bruke det vi veit om derivasjon av $$ \sin x$$, $$ \cos x$$ og $$ \tan x$$, til å lage reglar for berekning av det ubestemde integralet til trigonometriske funksjonar?

Ved å bruke han deriverte til $$ \sin x$$ og $$ \cos x$$ finn vi at $$ \begin{array}{c}\int \cos xdx=\sin x+C\end{array}$$, og at $$ \begin{array}{c}\int \sin xdx=-\cos x+C\end{array}$$.

Vi kan ikkje finne ein regel for $$ \begin{array}{c}\int \tan xdx\end{array}$$ ved hjelp av denne metoden, så dette vil vi komme tilbake til når vi har lært ein metode som blir kalla integrasjon ved variabelskifte. Vi kan derimot finne at $$ \tan x$$ er resultatet av eit anna ubestemt integral:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(\tan x\right)}^{\text{'}}& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ \int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx& =& \tan x+C\end{array}$$