Samla mengde

I mange samanhengar vil arealet under grafen til ein funksjon ha ei praktisk betydning. Ved kontinuerleg endring av ein storleik som er beskriven av ein funksjon, $$ f\left(x\right)$$, vil den samla mengda i løpet av ein tidsperiode frå $$ x=a$$ til $$ x=b$$ vere gitt ved

$$ {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$$

Vi skal vise dette ved gjennom to døme.

Erlend vart ferdig med utdanninga si i år 2000 og vart tilboden jobb.

Lønnsvilkåra som Erlend fekk då han starta i den nye jobben sin, var å starte med ei årleg inntekt på 270 000 kroner, for deretter å stige i lønn med 7 prosent per år dei neste to åra.

Erlends lønn etter $x$ år vil derfor vere gitt ved funksjonen

$$ f\left(x\right)=270 000·1,{07}^x$$

Vi tenker oss at lønna blir justert éin gong per år. Då vil den samla lønna for dei 3 første åra vere gitt ved den følgande samanhengen:

$$ \begin{array}{lcl}\mathrm{Samla} \mathrm{lønn}& = & 270 000+ 270 000·1,07+ 270 000·1,{07}^2\end{array}$$

Dette er ei geometrisk rekke med 3 ledd, der det første leddet$a_1=270 000$og$k=1,07$.

Samla lønn for 3 år vil vere summen av denne geometriske rekka. Det betyr at vi kan rekne ut samla lønn ved hjelp av formelen for summen av ei geometrisk rekke med $$ n$$ ledd: $$ \begin{array}{rcl}{S}_n & =& a_1\frac{k^n-1}{k-1}\end{array}$$.

Kva ville den samla lønna ha vorte etter 20 år dersom Erlend hadde halde fram med 7 prosent lønnsauke kvart år? Og korleis kan vi setje opp ei geometrisk rekke for den samla lønna for $$ 20$$ år ved hjelp av ein funksjon, $$ f\left(x\right)$$?

Korleis kan vi framstille den samla lønna til Erlend over ein periode på 20 år grafisk ved hjelp av rektangulære søyler som angir lønna for kvart år? Vi skal framleis gå ut frå at Erlend har den same lønna eit heilt år før ho stig med 7 prosent.

Søylediagram

Vi bruker SumUnder(f,0,20,20) for å teikne eit rektangel for kvart år ut frå funksjonen $$ f$$.

Vi ser at den samla lønnsutbetalinga for 20 år blir det same som vi berekna ut frå den geometriske rekka.

Til no har vi gått ut frå at lønna blir auka ein gong i året. Dersom vi derimot tenker at lønna blir justert kvar månad, må vi dele kvart rektangel i 12 rektangel, og dei kvite felta mellom kurva og rektangla blir veldig små. Det vil seie at summen av det samla arealet til rektangla nærmar seg området mellom grafen til $$ f\left(x\right)$$ og $$ x$$-aksen.

Dette er den same framgangsmåten som vi nytta i definisjonen av det bestemde integralet, men dersom vi skal kunne bruke det bestemde integralet for å berekne samla mengde, må vi ha ein storleik som endrar seg kontinuerleg. I dette tilfellet måtte lønna bli justert kontinuerleg, det vil seie at ho måtte heile tida vere i endring. I så fall vil det bestemde integralet gi rett verdi av samla lønn over ein gitt tidsperiode.

CAS-berekninga viser at dersom lønna til Erlend endrar seg kontinuerleg over 20 år, vil den samla lønna bli på 11 451 822 kroner.

Når vi til dømes har modellar for oljeutvinning, utslepp av klimagassar, produksjon av ei bestemd vare i ei bedrift og sal av ei bestemd vare frå ein butikk over eit gitt tidsrom, vil arealet under grafane til funksjonane vise samla oljeutvinning, samla utslepp, samla produksjon og samla sal i tidsperioden.