Gjennomsnittet av ein funksjon ved integrasjon

Gjennomsnittet av nokre tal finn vi generelt ved å legge saman alle tala og dividere på talet på tal. Dersom vi har $$ n$$ tal $$ a_1,a_2,a_3, ... ,a_n$$, blir gjennomsnittsverdien $$ \overline{a}$$.

$$ \overline{a}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}_i$$

Kva blir så gjennomsnittsverdien til ein funksjon $$ f$$? Det må bety gjennomsnittet av alle funksjonsverdiane. Men korleis finn vi "alle" funksjonsverdiane? Kva funksjonsverdiar skal vi bruke?

Til dømes kan vi ønske å finne gjennomsnittsverdien til funksjonen

$$ f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2$$

i intervallet $$ \left[1,4\right]$$. Vi startar med å gjere ei tilnærming ved å bruke 4 funksjonsverdiar i dette intervallet. Les av figuren og finn gjennomnsittsverdien av funksjonsverdiane $$ f\left(1\right), f\left(2\right), f\left(3\right)$$ og $$ f\left(4\right)$$.

Ville vi ha fått ei betre tilnærming for gjennomsnittet dersom vi rekna ut fleire funksjonsverdiar enn dei 4 over og brukt desse i utrekninga? Ja, heilt klart! Den beste tilnærminga vil vere å bruke uendeleg mange funksjonsverdiar i intervallet $$ \left[1,4\right]$$:

$$ \begin{array}{rcl}\overline{f} & =& \underset{n\to \infty }{\lim } \frac{1}{n}\sum _1^{4}f\left(x\right)\end{array}$$

Intervallet mellom 1 og 4 blir her delt opp i uendeleg mange delar. Uttrykket på høgre side liknar litt på ein riemannsum. Kva er det som manglar i uttrykket for at summen skal vere ein riemannsum?

Dersom vi set $$ ∆x$$ lik avstanden mellom to nabo-$$ x$$-verdiar som gitt i boksen over, får vi

$$ ∆x=\frac{b-a}{n}$$

$$ \left[a,b\right]$$ er intervallet vi skal finne gjennomsnittsverdien for funksjonen i. Dette betyr at

$$ \frac{1}{n}=\frac{∆x}{b-a}$$

At $$ n\to \infty $$, betyr at venstresida over går mot 0. Det betyr at $$ ∆x\to 0$$ dersom vi skal få 0 på høgre side. Då får vi til slutt

$$ \begin{array}{rcl}\overline{f} & =& \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _a^{b}f\left(x\right)\\ & =& \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{∆x}{b-a}\sum _a^{b}f\left(x\right)\\ & =& \frac{1}{b-a}\underset{∆x\to 0}{\lim }\sum _a^{b}f\left(x\right)·∆x\\ & =& \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(x\right) dx\end{array}$$

I nest siste linje får vi ein riemannsum, og resultatet er at vi kan finne den gjennomsnittlege funksjonsverdien, eller gjennomsnittet av ein funksjon, ved å rekne ut eit integral.

Bruk formelen på funksjonen $$ f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2$$ og rekn ut gjennomsnittsverdien $$ \overline{f}$$ i intervallet $$ \left[1,4\right]$$. Rekn for hand.

Start med formelen $$ \overline{f}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$$. Multipliser med $$ b-a$$ på begge sider.

Venstre side over kan tolkast som arealet av eit rektangel med breidde $$ b-a$$ og lengde $$ \overline{f}$$. Høgre side er arealet under grafen i intervallet $$ \left[a,b\right]$$.

På figuren har vi teikna inn begge delar for funksjonen $$ f$$ i dømet. Utrekninga over viser at arealet av rektangelet er det same som arealet under grafen. $$ \overline{f}$$ blir dermed høgda på eit rektangel med same areal og same breidde som tilsvarande areal under grafen.