Hopp til innhald

Fagstoff

Ubestemde integral

Derivasjon og integrasjon er motsette rekneartar. Det ubestemde integralet til ein gitt funksjon er ein ny funksjon som er slik at den deriverte er lik den opphavlege funksjonen.

Derivert og antiderivert

Funksjonen $F (x) = x^{2}$ har funksjonen $f (x) = 2 x$ som derivert.

Den "motsette" operasjonen går ut på å finne ein funksjon som har $2 x$ som derivert. Funksjonen $F (x) = x^{2}$ er ein slik funksjon. Det er vanleg å seie at $x^{2}$ er ein antiderivert til $2 x$ .

Kan du finne fleire funksjonar som har $2 x$ som derivert?

Løysing

Det finst uendeleg mange funksjonar som har $2 x$ som derivert. Til dømes har vi at ${(x^{2} + 3)}^{'} = 2 x$ og ${(x^{2} - 2)}^{'} = 2 x$ .

Den deriverte til $x^{2} + 3$ er òg lik $2 x$ . Derfor er $x^{2} + 3$ òg ein antiderivert til $2 x$ . Dersom $C$ er ein konstant, er alle funksjonar på forma $x^{2} + C$ ein antiderivert til $2 x$ .

Det er vanleg å bruke integral i staden for antiderivert.

Omgrep, symbol og definisjonar

Vi seier at $x^{2} + C$ er det ubestemde integralet til $2 x$ fordi $x^{2} + C$ ikkje er éin bestemd funksjon, men ein heil klasse av funksjonar som har $2 x$ som derivert. Konstanten $C$ kallar vi integrasjonskonstanten.

Som symbol for eit ubestemt integral til $f$ bruker vi $\begin{matrix} \int f (x) d x . \end{matrix}$ Vi les dette som "det ubestemde integralet til $f (x)$ ". Symbolet $\begin{matrix} \int \end{matrix}$ (lang S) kallar vi eit integralteikn, og funksjonen $f (x)$ som skal integrerast, kallar vi integranden. Symbolet $d x$ blir teke med mellom anna for å vise at dei funksjonane $F (x)$ vi kjem fram til, er funksjonar av variabelen $x$ . Det er $x$ som er integrasjonsvariabelen. Du skal òg sjå at dette er ein praktisk skrivemåte i samband med integrasjonsmetodar. Symbolet $d x$ kan lesast som "derivert med omsyn på $x$ ".

Definisjon av ubestemt integral

$\int f (x) d x = F (x) + C viss F^{'} (x) = f (x)$

Det ubestemde integralet av $f (x)$ er lik $F (x)$ pluss ein konstant som ofte blir kalla $C$ .

Symbolet $\begin{matrix} \int \end{matrix}$ kallar vi eit integralteikn.

Funksjonen $f (x)$ kallar vi integranden.

Konstanten $C$ kallar vi integrasjonskonstanten.

Vi seier at vi integrerer eller antideriverer $f (x)$ når vi finn $F (x)$ .

Symbolet $d x$ viser at det er $x$ som er integrasjonsvariabelen.

Døme

Vi tek utgangspunkt i eit andregradsuttrykk og påstår at vi har denne samanhengen:

$\int (x^{2} + 3 x + 4) d x = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + C$

Korleis kan vi kontrollere om dette er rett?

Løysing

Vi kan kontrollere integrasjonen ved å gå motsett veg, det vil seie at vi utfører derivasjonen:

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} {(\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + C)}^{'} & = & \frac{1}{3} \cdot 3 x^{2} + \frac{3}{2} \cdot 2 x + 4 + 0 \\ = & x^{2} + 3 x + 4 \end{matrix} \end{array} \begin{array}{rcl} \end{array}$

Sjå i tillegg gjennomgangen av løysinga i filmen under.

Kva er integranden i denne samanhengen?

Løysing

Integranden er $x^{2} + 3 x + 4$ .

Kvifor står det $C$ i resultatet av integrasjonen?

Løysing

Det er fordi ein derivasjon av ein konstant gir null som resultat, og resultatfunksjonen kan derfor innehalde ein konstant som vi ikkje veit storleiken på. Vi angir dette som integrasjonskonstanten $C$ .

Kvifor står det $d x$ bak andregradsuttrykket?

Løysing

$d x$ viser at det er $x$ som er integrasjonsvariabelen.

Film om ubestemde integral

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA

CC BY-SASkrive av Vibeke Bakken, Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist fagleg oppdatert 14.01.2022

Læringsressursar

Bestemde og ubestemde integral