Arealet mellom grafar

Vi har teikna grafane til dei to funksjonane $f$ og $g$ gitt ved

$\begin{array}{lcl}f\left(x\right)& = & -x^2+12x+10\\ & & \\ g\left(x\right)& =& x^2-12x+50\end{array}$

Begge grafane er over $$ x$$-aksen i det gitte området. Korleis kan vi berekne arealet av området mellom grafane, som er skravert med grønt på figuren?

Svar

Området som er markert med grønt på figuren over, blir avgrensa av to loddrette linjer som går gjennom skjeringspunkta mellom grafane. Vi kan finne dette arealet som differansen mellom området under $$ f$$, som er skravert med blått, og området under $$ g$$, som er skravert med svart.

Vi finn først skjeringspunkta mellom grafane.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& g\left(x\right)\\ & & \\ -x^2+12x+10 & = & x^2-12x+50\\ & & \\ -2x^2+24x-40& =& 0\end{array} \\ \end{gathered}$$

$$ \begin{array}{rcl}x\hspace{0.17em}& =& \hspace{0.17em}\frac{-24\pm \sqrt{{24}^2-4·\left(-2\right)\left(-40\right)}}{2\left(-2\right)}=\frac{-24\pm 16}{-4}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}& & x\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & 2\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \vee \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & x\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & 10\end{array}$$

No veit vi at områda blir avgrensa horisontalt av linjene $$ x=2$$ og $$ x=10$$. Dersom vi reknar ut $$ \begin{array}{c}{\int }_2^{10}f\left(x\right) dx\end{array}$$, får vi arealet som er skravert med blått på figuren til venstre. Tilsvarande får vi arealet som er skravert med svart på figuren til høgre, ved å rekne ut $$ \begin{array}{c}{\int }_2^{10}g\left(x\right) dx\end{array}$$.

Arealet av området mellom grafane er då

$$\begin{gathered} \begin{array}{rcl}A& = & {\int }_2^{10}f\left(x\right) dx-{\int }_2^{10}g\left(x\right) dx={\int }_2^{10}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right) dx\\ & & \\ & =& {\int }_2^{10}\left(-x^2+12x+10-\left(x^2-12x+50\right)\right) dx\\ & & \\ & =& {\int }_2^{10}\left(-2x^2+24x-40\right) dx\\ & & \\ & =& {\left[-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{24}{2}{x}^2-40x\right]}_2^{10}\\ & & \\ & =& \frac{400}{3}+\frac{112}{3}\\ & & \\ & =& \frac{512}{3}\end{array} \\ \end{gathered}$$

Vi startar her med integralet som er avgrensa av den øvste grafen og trekker frå integralet som er avgrensa av den nedste grafen.

Kva skjer dersom du gjer omvendt?

Vi kan kontrollere resultatet ved å berekne det same integralet i GeoGebra. Vi bruker IntegralMellom(<Funksjon>,<Funksjon>,<Start>,<Slutt>).

Vi ser at rekkefølga vi angir funksjonane i, har noko å seie òg i CAS. Vi får positivt resultat når vi angir $$ f$$ først, og negativt resultat når vi angir $$ g$$ først. Absoluttverdien er den same i begge tilfella.

Korleis bereknar vi arealet når grafane vekslar på å vere øvst i det området vi ønsker å berekne arealet?

Forklaring

Dersom grafane vekslar på å vere øvst, må vi berekne det bestemde integralet område for område.

Test gjerne dette ut med ulike funksjonar i GeoGebra eller manuelt. Du kan til dømes bruke funksjonane $$ f\left(x\right)=\sin x$$ og $$ g\left(x\right)=-\sin x$$ og berekne arealet mellom dei to grafane frå $$ x=0$$ til $$ x=\mathrm{\pi }$$ og frå $$ x=\mathrm{\pi }$$ til $$ x=2\mathrm{\pi }$$. Undersøk òg kva som skjer dersom du bereknar arealet frå $$ x=0$$ til $$ x=2\mathrm{\pi }$$ i ein rekneoperasjon.