Fundamentalteoremet i matematisk analyse

Vi ser på funksjonen $f$ gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2-x+4$

I fagartikkelen "Definisjon av bestemt integral som grenseverdi" bruker vi GeoGebra og finn ut at arealet $A$ under grafen til $f$ i området $x\in [3, 7]$ er $$ 22,33$$. Dette definerer vi til å vere det bestemde integralet frå 3 til 7 av funksjonen.

$A={\int }_3^7(\frac{1}{4}{x}^2-x+4) dx=22,33$

Ha dette i bakhovudet inntil vidare.

Vi finn det ubestemde integralet til $f$ ved hjelp av GeoGebra.

Vi set øvre og nedre grense frå arealberekninga over inn i funksjonen $$ F\left(x\right)$$ og reknar ut ved hjelp av CAS:

Vi ser at dette er det same resultatet som vi fekk då vi rekna ut det bestemde integralet tidlegare. Legg òg merke til at integrasjonskonstanten c₁ forsvinn. Kvifor skjer dette?

Det kan visast at denne samanhengen gjeld generelt, og dette er eit grunnleggande resultat i matematikken som blir kalla "fundamentalteoremet i matematisk analyse". Det er òg vanleg å bruke nemninga "fundamentalsetninga i matematisk analyse".

Vi kan altså rekne ut det bestemde integralet til ein funksjon frå $$ x=a$$ til $$ x=b$$ ved hjelp av det ubestemde integralet til funksjonen.

Dette betyr i praksis at vi kan berekne arealet, $A$, av området som er avgrensa av grafen til funksjonen $f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2-x+4$, $x$-aksen og linjene $x=3$ og $x=7$, ved hjelp av det ubestemde integralet til $$ f$$:

$$ \begin{array}{rcl}A& = & {\int }_3^7\left(\frac{1}{4}{x}^2-x+4\right) dx\\ & & \\ & =& {\left[\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+4x\right]}_3^7\\ & & \\ & =& \left(\frac{7^3}{12}-\frac{7^2}{2}+4·7\right)-\left(\frac{3^3}{12}-\frac{3^2}{2}+4·3\right)\\ & & \\ & =& \frac{7^3-3^3}{12}-\frac{7^2-3^2}{2}+4·7-4·3\\ & & \\ & =& \frac{316}{12}-\frac{40}{2}+16\\ & & \\ & =& \frac{79}{3}-\frac{12}{3}\\ & & \\ & =& \frac{67}{3}\\ & & \\ & \approx & 22,33\end{array}$$

Vi skal ikkje bevise fundamentalteoremet i matematisk analyse her, men vi kan illustrere det gjennom eit døme. Vi kjem òg tilbake til fundamentalteoremet når vi skal arbeide meir med berekningar av bestemde integral og areal.

Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f\left(x\right)=3x$$.

Vi skal finne arealet avgrensa av grafen til $f$ og
$x$ -aksen mellom $x=0$ og $x=4$.

Vi bruker formelen for arealet av ein trekant og får

$A=\frac{g·h}{2}=\frac{4·\left(3·4\right)}{2}=24$

Bruker vi ein tilfeldig variabel $x$ som grense i staden for 4, får vi

$$ A\left(x\right)=\frac{x·\left(3x\right)}{2}=\frac{3x^2}{2}=\frac{3}{2}{x}^2$$

Vi ser at dette uttrykket er akkurat det same som den antideriverte til $3x$, og vi kan ut frå dette setje opp følgande samanheng:

$A={\int }_0^{4}3x dx={\left[\frac{3}{2}{x}^2\right]}_0^4=\frac{3}{2}·4^2=24$