Gjennomsnittet av ein funksjon ved integrasjon

Utan hjelpemiddel:

$$ \begin{array}{rcl}\overline{f} & =& \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\\ & =& \frac{1}{2-0}{\int }_0^2\left(3x+4\right)dx\\ & =& \frac{1}{2}{\left[\frac{3}{2}{x}^2+4x\right]}_0^2\\ & =& \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}·2^2+4·2\right)\\ & =& \frac{1}{2}·14\\ & =& 7\end{array}$$

Med CAS i GeoGebra (der $$ f_m$$ står for gjennomsnittsverdien av $$ f$$):

Sidan grafen i a) er ei rett linje, kan vi òg rekne ut gjennomsnittsverdien ved å finne gjennomsnittet av $$ f\left(0\right)$$ og $$ f\left(2\right)$$.

$$ \overline{f}=\frac{f\left(0\right)+f\left(2\right)}{2}=\frac{4+10}{2}=7$$

Vi skriv inn funksjonen $$ g\left(x\right)=1,5x^2+4$$ og bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne skjeringspunkta mellom $$ f$$ og $$ g$$. Resultatet viser at $$ g\left(0\right)=f\left(0\right)$$ og $$ g\left(2\right)=f\left(2\right)$$.

Sjølv om $$ g\left(0\right)=f\left(0\right)$$ og $$ g\left(2\right)=f\left(2\right)$$, vil gjennomsnittsverdien $$ \overline{g}$$ vere mindre enn $$ \overline{f}$$ fordi grafen til $$ g$$ ligg under grafen til $$ f$$ i heile intervallet $$ [0,2]$$.

Utan hjelpemiddel:

$$ \begin{array}{rcl}\overline{g} & =& \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}g\left(x\right)dx\\ & =& \frac{1}{2-0}{\int }_0^2\left(\frac{3}{2}{x}^2+4\right)dx\\ & =& \frac{1}{2}{\left[\frac{1}{2}{x}^3+4x\right]}_0^2\\ & =& \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}·2^3+4·2\right)-0\\ & =& \frac{1}{2}\left(4+8\right)\\ & =& 6\end{array}$$

Med CAS i GeoGebra:

$$ \begin{array}{rcl}\overline{f }& =& \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\\ & =& \frac{1}{2-\left(-1\right)}{\int }_{-1}^2\left(x^2-2x\right)dx\\ & =& \frac{1}{3}{\left[\frac{1}{3}{x}^3-x^2\right]}_{-1}^2\\ & =& \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}·2^3-2^2-\left(\frac{1}{3}{\left(-1\right)}^3-{\left(-1\right)}^2\right)\right)\\ & =& \frac{1}{3}\left(\frac{8}{3}-4+\frac{1}{3}+1\right)\\ & =& 0\end{array}$$

Når gjennomsnittet blir lik 0, betyr det at det er like mykje areal under $$ x$$-aksen som over han i det aktuelle området .

Opplysninga gir oss at

$$ \begin{array}{rcl}\frac{1}{5-\left(-1\right)}{\int }_{-1}^{5}f\left(x\right)dx & =& 3\\ \frac{1}{6}{\int }_{-1}^{5}f\left(x\right)dx & =& 3\\ {\int }_{-1}^{5}f\left(x\right)dx & =& 18\end{array}$$

Frå utgangspunktet $$ \overline{f}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$$ får vi at

$$ {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\overline{f}·\left(b-a\right)$$

Høgresida kan ein dermed oppfatte som arealet av rektangelet som er beskrive i oppgåveteksten. Sjå teorisida i tillegg. Sidan arealet av rektangelet er 4, får vi at

$$ {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=4$$

Bruk CAS og set opp ei likning.

Vi må løyse likninga $$ \overline{f}=\frac{1}{b-1}{\int }_1^{b}f\left(x\right)dx=4$$.

Vi får at $$ b=4,32$$ gir ein gjennomsnittsverdi på 4.

Her brukte vi funksjonen "NLøys" fordi funksjonen "Løys" ikkje klarte å finne løysinga.

Vi må løyse likninga

$$ \overline{f}=\frac{1}{b-\left(-3\right)}{\int }_{-3}^{b}f\left(x\right)dx=2$$

Vi må vere på vakt og sjå etter fleire løysingar. Derfor teikna vi først grafen i denne oppgåva. Den første løysinga kjem automatisk når vi skriv inn likninga utan å gi nokon verdi for $$ b$$ ($$ b=1$$ kjem automatisk). Dersom vi studerer grafen, ser vi at gjennomsnittsverdien vil halde fram med å søkke om $$ b$$ blir større enn $$ -1,85$$. Men sidan grafen er stigande for positive $$ x$$-verdiar, må gjennomsnittsverdien etter kvart auke og passere 2 for ein verdi for $$ b$$ som er større enn 0. For å finne denne verdien for $$ b$$ gjentek vi likninga frå linje 2, men prøver oss med ein større verdi for $$ b$$, sjå linje 3. Då får vi $$ b=4,85$$ som løysing.

Fleire løysingar kan det ikkje vere sidan funksjonen held fram med å vekse etter som $$ x$$ aukar. Gjennomsnittsverdien er 2 når

$$ b=-1,85 \vee b=4,85$$

Vi tek utgangspunkt i algoritmen i oppgåve 3.1.2, der vi bruker venstre endepunktsum i utrekninga av integralet.

Funksjonen $$ f\left(x\right)$$ blir gitt frå start i programmet.

Totalt integral må setjast lik null frå start.

Programmet skal gi deg høve til å gi det talet rektangel som området skal delast inn i.

Startverdi for $$ x$$ blir sett lik nedre grense for $$ x$$, som er $$ a$$.

Breidda av kvart rektangel, $$ ∆x$$, blir rekna ut ved å ta den totale breidda på området og dividere på talet på rektangel.

Programmet skal først berekne ein tilnærma verdi for integralet. Dette blir gjort ved hjelp av ei lykkje, der arealet til kvart rektangel blir rekna ut, og dette blir lagt til for kvar runde i lykkja i ein totalsum.

Arealet til kvart rektangel blir rekna ut ved å multiplisere høgda med breidda, det vil seie $$ f\left(x_n\right)·∆x_n$$.

For kvar gong eit areal er rekna ut, aukar $$ x$$-verdien med $$ ∆x$$, som er breidda av kvart rektangel.

Lykkja blir gjenteke så lenge $$ x$$-verdien er mindre enn eller lik $$ x_2$$.

Til slutt skal det totale integralet delast på differansen $$ b-a$$, og resultatet, som blir gjennomsnittstemperaturen, blir skrive ut.