Definisjon av bestemt integral som grenseverdi

Vi har funksjonen $$ f$$ gitt ved

$$ f\left(x\right)=x^2$$

a) Eit område er avgrensa av grafen til $f$, $x$-aksen og linjene $$ x=1$$ og $$ x=6$$. Berekn ein tilnærma verdi for arealet, $$ A$$, av dette området, ved å dele området i 5 like breie rektangel som vist på figuren nedanfor. Løys oppgåva utan å bruke digitale hjelpemiddel.

b) Lag eit GeoGebra-ark der du bruker SumUnder(Funksjon,Start,Slutt,Talet på rektangel) for å gjere den same berekninga som i oppgåve a).

Løysing

For å få fram GeoGebra-arket som er vist i oppgåve a), definerer vi funksjonen og bruker SumUnder i algebrafeltet, som vist nedanfor. Arealet vil då bli gitt i algebrafeltet.

c) Berekn eit tilnærma areal for det same området ved å dele området i 5 like breie trapes som vist på figuren nedanfor. Løys òg denne oppgåva utan å bruke digitale hjelpemiddel, og samanlikn med resultatet i a). Kommenter.

d) Lag eit GeoGebra-ark der du bruker TrapesSum(Funksjon,Start,Slutt,Talet på trapes) for å gjere den same berekninga som i oppgåve c).

Løysing

For å få fram GeoGebra-arket som er vist i oppgåve c), definerer vi funksjonen og bruker TrapesSum i algebrafeltet, som vist nedanfor. Arealet vil då bli gitt i algebrafeltet.

I teoriartikkelen såg vi på funksjonen $f$ gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2-x+4$

a) I det interaktive GeoGebra-arket nedanfor kan du endre talet på rektangel ved å dra i glidaren, og du kan sjå kva som då skjer med arealet. Test ut dette, og samanlikn arealet av rektangla med det faktiske arealet under grafen.

b) Lag ein algoritme for eit program som bruker rektangelmetoden til å berekne ein tilnærma verdi for arealet under kurva til $$ f\left(x\right)$$.

c) Lag programmet.

1# Definerer funksjonen f
2def f(x):
3    return 1/4*x**2-x+4
4# Set startverdiar for arealet
5areal=0
6
7# Informasjon blir gitt, og inndata blir registrert.
8print("Dette programmet finn ein tilnærma verdi for")
9print("arealet under kurva frå ein x-verdi til ein annan.")
10x1 = float(input("Skriv inn nedre grense:"))
11x2 = float(input("Skriv inn øvre grense:"))
12taletpaaRektangel = float(input("Skriv inn talet på rektangel:"))
13deltax = (x2-x1)/taletpaaRektangel
14
15# Startverdi for x blir sett lik nedre grense for x.
16xVerdi=x1
17
18# Lykkje som bereknar areal av kvart rektangel og summerer etter kvart
19while xVerdi<x2:
20    rektangelAreal=f(xVerdi)*deltax
21    areal=areal+f(xVerdi)*deltax
22    # Bereknar neste x-verdi
23    xVerdi=xVerdi+deltax
24    
25    #Vi legg til 0.00000000001 for å unngå binær/desimal-feil, sjå kommentar.
26    xVerdi=xVerdi+0.00000000001
27
28print(f"Arealet av rektangla er {areal:.2f}.")

d) Samanlikn resultata programmet gir, for ulike verdiar med resultata GeoGebra-arket gir for tilsvarande verdiar.

Riemannsummar kan reknast ut på ulike måtar, for vi kan velje kvar vi måler høgda i rektangla. I oppgåve 3.1.2 brukte vi høgda for den lågaste $$ x$$-verdien (venstre endepunktsum), men det er òg mogleg å bruke høgda for den største av dei to $$ x$$-verdiane (høgre endepunktsum) eller midtpunktet mellom dei to $$ x$$-verdiane (midtpunktsum).

I figuren nedanfor har vi teikna grafen til funksjonen $$ f$$ gitt ved

$$ f\left(x\right)=x^3-2x+2$$

Vi har vist at tilnærming av areal under grafen for eit område er avgrensa av grafen til $f$, $x$-aksen og linjene $$ x=-1$$ og $$ x=2$$. Dette har vi gjort ved å teikne tre rektangel. I grafen til venstre har vi teke utgangspunkt i den lågaste $$ x$$-verdien. I grafen i midten har vi brukt midtpunktet mellom $$ x$$-verdiane, og i grafen til høgre har vi brukt den største av dei to $$ x$$-verdiane.

a) Set opp uttrykk som viser korleis du vil berekne arealet av rektangelet som er merkt $$ A$$ i kvar av figurane.

b) Lag eit program der du utforskar noko av dette for funksjonen som er gitt i oppgåve a). Programmet skal rekne ut arealet under kurva ved bruk av dei tre variantane av høgder av rektangel (som nemnt over) i berekning av riemannsummen.

Når du har fått programmet til å verke for den gitte funksjonen, kan du òg prøve det ut for andre funksjonar.

1def f(x):
2    return x**3-2*x+2
3# Set startverdiar for areala
4arealV=0
5arealM=0
6arealH=0
7
8# Informasjon blir gitt, og inndata blir registrert.
9print("Dette programmet finn ein tilnærma verdi for")
10print("arealet under kurva frå ein x-verdi til ein annan.")
11x1 = float(input("Skriv inn nedre grense:"))
12x2 = float(input("Skriv inn øvre grense:"))
13taletpaaRektangel = float(input("Skriv inn talet på rektangel:"))
14deltax=(x2-x1)/taletpaaRektangel
15
16# Startverdi for x blir sett lik nedre grense for x.
17xVerdi=x1
18
19# Lykkje som bereknar areal av kvart rektangel og summerer etter kvart
20while xVerdi<x2:
21    arealV=arealV+f(xVerdi)*deltax
22    
23    midtpkt=(xVerdi+xVerdi+deltax)/2
24    arealM=arealM+f(midtpkt)*deltax
25    
26    arealH=arealH+f(xVerdi+deltax)*deltax
27    # Bereknar neste x-verdi
28    xVerdi=xVerdi+deltax
29
30print(f"Arealet av rektangla ved bruk av lågaste x-verdi er {arealV:.2f}.")
31print(f"Arealet av rektangla ved bruk av midtpunkt er {arealM:.2f}.")
32print(f"Arealet av rektangla ved bruk av høgaste x-verdi er {arealH:.2f}.")
33