Utforsking av grenseverdiar
Gitt funksjonen
Funksjonen er ikkje definert for, for då blir nemnaren lik null. Det er likevel aktuelt å spørje seg kva som skjer med verdiane til funksjonen når
Oppgåve
Bruk rekneark eller CAS i GeoGebra og rekn ut nokre funksjonsverdiar for
Ut frå tabellen over kan det verke som om jo nærare
I så tilfelle skriv vi dette som
eller
Lim er ei forkorting for det latinske ordet limes, som betyr "grense".
Litt upresist kan vi seie følgjande:
Dersom vi kan få
Vi les dette som "grenseverdien for
Vi går ut frå at
Definisjonen seier at
Metoden vi brukte med å rekne ut nokre funksjonsverdiar ovanfor, er ikkje ein påliteleg metode for å finne grenseverdiar. Pålitelege metodar får du lære i dei følgande artiklane. Foreløpig skal vi utforske omgrepet grenseverdiar og prøve å forstå det.
Matematikarar har kome fram til ein presis definisjon av grenseverdi som gjer det mogleg å lage reknereglar og dermed rekne ut grenseverdiar. Denne definisjonen ligg eigentleg utanfor dette kurset, men vi tek han med for spesielt interesserte. Denne definisjonen blir ofte omtalt som epsilon-delta-definisjonen, sidan vi bruker dei greske bokstavane
Vi seier at funksjonen
Berre vi vel
Med utgangspunkt i definisjonen ovanfor kan vi bevise eit sett med setningar for grenseverdiar. Desse setningane kan vi bruke når vi skal finne grenseverdiar. Dette finn du meir om på sida "Grenseverdisetningene". Bevisa for desse setningane ligg utanfor rammene for R1-kurset, men i artikkelen "Andre matematiske bevis" (frå R2) finn du ein grundig gjennomgang av denne definisjonen.
Relatert innhald
Her tek vi for oss dei fire grunnleggjande grenseverdisetningane med rekneeksempel.