Desse oppgåvene med grenseverdiar til rasjonale funksjonar kan løysast med og utan digitale verktøy.
2.1.30
a) Kva kallar vi denne typen funksjonar, og kva kjenneteiknar dei?
Løysing
Det er ein rasjonal funksjon, sidan teljaren og nemnaren er polynom. Ein rasjonal funksjon er ikkje definert når nemnaren er lik 0, og funksjonen til f er ikkje definert for dei x-verdiane som gjer at nemnaren blir 0.
b) Fyll ut verditabellen: x01233,53,9944,01567fx
Løysing
x01233,53,9944,01567fx-1-2-4-10-22-119812021486
c) Sjå på verditabellen og beskriv kva som skjer når x-verdien nærmar seg 4. Kva betydning har det for grafen til f?
Løysing
Når x-verdiar nærmar seg 4 frå den negative sida av x-aksen, slik som når x er lik 3,99 i verditabellen, minkar verdien til fx mykje. Grafen minkar raskt. Når x-verdiar nærmar seg 4 frå den positive sida av x-aksen, slik som når x er lik 4,01 i verditabellen, stig verdien til fx mykje. Grafen veks raskt.
d) Sjå på verditabellen og beskriv kva som skjer når x=4. Kva betydning har det for grafen til f?
Løysing
Det er ikkje mogleg å finne ein fx-verdi for x er lik 4, sidan nemnaren blir 0. Grafen eksisterer ikkje for x=4.
e) Finn den vertikale asymptoten utan bruk av digitale verktøy.
Løysing
Vi set nemnaren lik 0 for å finne den vertikale asymptoten:
x-4=0x=4
Vi har funne ein vertikal asymptote for x=4.
f) Bruk digitale verktøy til å teikne funksjonen fx=2x+4x-4.
Løysing
Vi teiknar grafen til fx=2x+4x-4:
g) Finn den vertikale asymptoten til f ved hjelp av digitale verktøy.
Løysing
Vi vel kommandoen Asymptote(<Funksjon>) og skriv f for "funksjon". Då finn vi den vertikale asymptoten, ei raud stipla linje, for x=4.
h) Får du fleire asymptotar eller linjer? Kva kan den siste linja vere?
Løysing
Linja y=2, den raude stipla linja, er ein horisontal asymptote for f. Ho viser kva verdi grafen nærmar seg når x veks mot ±∞.
b) Rekn ut grenseverdien for f når x går mot ±2 ved hjelp av digitale verktøy.
Løysing
Vi bruker CAS i GeoGebra. Vi vel kommandoen Grenseverdi ( <Uttrykk> , <Verdi> ) og får:
c) Kva kan vi seie om funksjonen ut ifrå grenseverdiane vi fann i a) og b)?
Løysing
Funksjonen eksisterer ikkje for når x=2, mens han får verdien fx=-34 når x=-2. Funksjonen har ingen asymptote i x=-2, sidan vi kan forkorte uttrykket og få fx=3x+6x2-4=3(x+2)(x+2)(x-2)=3x-2
d) Finn den vertikale asymptoten til f ved hjelp av rekning.
Løysing
Vi set nemnaren lik 0.
x2-4=0x2=4x=2∨x=-2
Vi undersøkjer om x=2 er ein vertikal asymptote.
Så set vi x=2 inn i teljaren: 3·2+6=12.
Teljaren er eit tal ulikt frå null, og nemnaren er null for x=2, så x=2 er ein vertikal asymptote.
Vi set x=-2 inn i teljaren: 3·(-2)+6=0.
Både teljaren og nemnaren er null for x=-2 . Det gir eit 00-uttrykk. Funksjonen kan då ha ein grenseverdi når x nærmar seg -2. Grenseverdien fann vi i a). Grenseverdien for x=-2 er -34. Grenseverdien eksisterer, og vi får ingen asymptote for x=-2.
e) Kva samanheng er det mellom grafen til f og den vertikale asymptoten til f?
Løysing
Den vertikale asymptoten til f lagar ei rett linje som grafen til f berre kan nærme seg, men ikkje krysse.
f) Bruk digitale verktøy til å teikne f saman med asymptotane til f.
Løysing
Grafen til fx=3x+6x2-4:
2.1.32
Finn definisjonsområdet og eventuelle vertikale asymptotar for kvar av funksjonane under.
a) fx=x2-2x2+4
Løysing
Funksjonen er ein rasjonal funksjon, og han er ikkje definert for x-verdiar som gir 0 i nemnaren. Vi set nemnaren lik 0:
x2+4=0x2=-4
Det er ingen x-verdiar som gir 0 i nemnaren.
Definisjonsområdet for f er Df=ℝ. Funksjonen har ingen vertikale asymptotar, sidan han er definert for alle verdiar av x.
b) gx=x+1x2-4
Løysing
Funksjonen er ein rasjonal funksjon, og han er ikkje definert for x-verdiar som gir 0 i nemnaren. Vi set nemnaren lik 0:
x2-4=0x2=4x=2∨x=-2
VI sjekkar om teljaren blir 0 for x=2: 2+1=3.
Vi sjekkar om teljaren blir 0 for x=-2: -2+1=-1.
Både x=2 og x=-2 er asymptotar for f(x). Definisjonsområdet for g er Dg=ℝ\-2,2.
c) hx=4x2x2-x
Løysing
Funksjonen er ein rasjonal funksjon, og han er ikkje definert for x-verdier som gir 0 i nemnaren. Vi set nemnaren lik 0: x2-x=0x(x-1)=0x=0∨x=1
Vi sjekkar om teljaren blir 0 for x=0: 4·02=0. Det gir eit 00-uttrykk. Funksjonen kan då ha ein grenseverdi når x nærmar seg null.
Grenseverdien finn vi slik:
limx→04x2x2-x=limx→04x2x(x-1)=4·00-1=0-1=0
Grenseverdien eksisterer, og vi får ingen asymptote for x=0.
Vi sjekkar om teljaren blir 0 for x=1: 4·12=4. Teljaren er eit tal ulikt frå null, og nemnaren er null for x=1, så x=1 er ein vertikal asymptote. Definisjonsområdet for h er Dh=ℝ\1.
d) ix=x2-2x2+5x+6
Løysing
Funksjonen er ein rasjonal funksjon, og han er ikkje definert for x-verdiar som gir 0 i nemnaren. Vi set nemnaren lik 0: x2+5x+6=0(x+2)·(x+3)=0x=-2∨x=-3.
Vi sjekkar om teljaren blir 0 for x=-2: (-2)2-(-2)=4+2=6.
Vi sjekkar om teljaren blir 0 for x=-3: (-3)2-2=9-2=7.
Både x=-2 og x=-3 er asymptotar for ix. Definisjonsområdet for i er Di=ℝ\-2,-3.
2.1.33
Rekn ut eventuelle vertikale asymptotar til funksjonane utan bruk av hjelpemiddel. Prøv å beskrive kva den vertikale asymptoten fortel om funksjonen i kvart enkelt tilfelle. Til slutt bruker du digitale verktøy til å teikne funksjonen, og for å sjå om du fann dei riktige asymptotane.
a) fx=x+3x-1
Løysing
Vi set nemnaren lik 0:
x-1=0x=1
Vi sjekkar om teljaren blir 0 for x=1:1+3=4. x=1 er ein vertikal asymptote for f. Det betyr at funksjonen ikkje eksisterer for x=1, og at grafen ikkje kan krysse linja x=1. Vi ser på kva som skjer når grafen nærmar seg asymptoten x=1 frå
venstre side: limx→1-fx=-∞
høgre side: limx→1+fx=∞
Vi teiknar grafen med GeoGebra og finn asymptotane:
b) gx=x2-4x2-9
Løysing
Vi set nemnaren lik 0:
x2-9=0x2=9x=±3
Vi sjekkar om teljaren blir 0 for x=3: 32-4=5.
Vi sjekkar om teljaren blir 0 for x=-3: (-3)2-4=5.
Både x=-3 og x=3 er vertikale asymptotar for g. Det betyr at funksjonen ikkje eksisterer for x=-3 og x=3, og at grafen ikkje kan krysse linjene som er asymptotar.
Vi ser på kva som skjer når grafen nærmar seg asymptoten x=-3 frå
venstre side: limx→-3-gx=+∞
høgre side: limx→-3+gx=-∞
Så ser vi på kva som skjer når grafen nærmar seg asymptoten x=3 frå
venstre side: limx→3-gx=-∞
høgre side: limx→3+gx=+∞
Vi teiknar grafen med GeoGebra og finn asymptotane:
c) hx=x2-3x2-5x-6
Løysing
Vi set nemnaren lik 0:
x2-5x-6=0(x-6)(x+1)=0x=6∨x=-1
Vi sjekkar om teljaren blir 0 for x=6: 62-3=36-3=33x=6 er ein vertikal asymptote for hx.
Vi sjekkar om teljaren blir 0 for x=-1: -12-3=1-3=-2x=-1 er ein vertikal asymptote for hx.
Vi ser på kva som skjer når grafen nærmar seg asymptoten x=6 frå
venstre side: limx→6-hx=-∞
høgre side: limx→6+hx=+∞
Så ser vi på kva som skjer når grafen nærmar seg asymptoten x=-1 frå
venstre side: limx→-1-hx=-∞
høgre side: limx→-1+hx=+∞
Vi teiknar grafen med GeoGebra og finn asymptotane:
d) ix=x+2x2-4
Løysing
Vi set nemnaren lik 0:
x2=4x=±2
Vi sjekkar om teljaren blir 0 for x=2 : 2+2=4x=2 er ein vertikal asymptote for ix.
Vi sjekkar om teljaren blir 0 for x=-2: -2+2=0x=-2 er ikkje ein vertikal asymptote for i(x).
Vi ser på kva som skjer når grafen nærmar seg asymptoten x=2 frå
venstre side: limx→2-ix=-∞
høgre side: limx→2+ix=∞
Så teiknar vi grafen med GeoGebra og finn asymptotane: