Hopp til innhald
Fagartikkel

Rasjonale funksjonar og vertikal asymptote

Rasjonale funksjonar vil som regel ha ein vertikal asymptote der nemnaren i funksjonsuttrykket er null. Men dette gjeld ikkje alltid!

Ein rasjonal funksjon er ein funksjon som kan skrivast som ein brøk der teljaren og nemnaren er polynom.

Polynoma kan ha grad null, derfor er til dømes også funksjonen 1x ein rasjonal funksjon.

Vertikal asymptote

Vi undersøkjer funksjonen f gitt ved fx=x-2x+2

Ein brøk er ikkje definert når nemnaren er lik null. Vi undersøkjer om fx har nokon grenseverdi når x nærmar seg -2. Vi reknar ut teljaren og nemnaren kvar for seg.

-2-2 = -4-2+2=0

Det tyder at limx-2x-2x+2 ikkje eksisterer.

Når x nærmar seg verdien -2 frå venstre, veks funksjonsverdiane over alle grenser.

Vi skriv

fx når x-2- eller limx-2-fx=

(Legg merke til korleis vi markerer at x nærmar seg -2 frå venstre.)

Når x nærmar seg verdien -2 frå høgre, avtar funksjonsverdiane utan grenser.

Vi skriv fx- når x-2+ eller limx-2+fx=-

Dersom ein funksjon fx eller - når xa frå den eine eller andre sida, så er linja  x=a  ein vertikal asymptote for grafen av f.

Når x nærmar seg a , så vil grafen nærme seg linja  x=a.

Dette tyder at linja  x=-2  er ein vertikal asymptote for grafen av fx i dømet over.

Ut frå det ovenståande kan vi seie at  x=a  er ein vertikal asymptote for ein rasjonal funksjon fx dersom nemnaren blir null og teljaren blir eit tal ulikt null for  x=a.

Video: Tom Jarle Christiansen, //www.youtube.com/user/tomjch, Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0

Eksempel

fx=3x2x2-x

Vi finn når nemnaren er lik null.

  x2-x = 0xx-1=0       x=0    x-1=0       x=0    x=1

Det er her to mogelege vertikale asymptotar, x=0 og x=1.

Vi undersøkjer først om  x=1  er ein vertikal asymptote ved å setje 1 inn i teljaren.

3·12=3

Teljaren er eit tal ulikt null og nemnaren er null for  x=1, så  x=1  er ein vertikal asymptote.

Vi undersøkjer så om  x=0  er ein vertikal asymptote.

3·02=0

Både teljer og nemnar er null for  x=0 .

Funksjonen kan då ha ein grenseverdi når x nærmar seg null.

Grenseverdien finn vi slik

limx0 fx=limx0 3x2x2-x=limx0 3·x·xx·x-1=limx0 3·xx-1=3·00-1=0

Grenseverdien eksisterer og vi får ingen asymptote for  x=0.

Video: Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0