Fagstoff

Grenseverdisetningane

Grenseverdisetningane blir ofte brukte heilt intuitivt. Her er ei oversikt og to rekneeksempel.

Grenseverdisetningane

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to a} (f (x) + g (x)) & = & \lim_{x \to a} f (x) + \lim_{x \to a} g (x) \\ \lim_{x \to a} (f (x) - g (x)) & = & \lim_{x \to a} f (x) - \lim_{x \to a} g (x) \\ \lim_{x \to a} (f (x) \cdot g (x)) & = & \lim_{x \to a} f (x) \cdot \lim_{x \to a} g (x) \\ \lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} & = & \frac{\lim_{x \to a} f (x)}{\lim_{x \to a} g (x)} \end{array}$

I den fjerde grenseverdisetningen er det føresett at $\lim_{x \to a} g (x) \neq 0$ .

Grenseverdisetningane er reknereglar for grenseverdiar.

Døme 1

Rekn ut $\lim_{x \to 2} (x^{2} + \ln x)$ ved å bruke grenseverdisetningane.

Løysing

Vi bruker den første grenseverdisetninga.

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to 2} (x^{2} + \ln x) & = & \lim_{x \to 2} x^{2} + \lim_{x \to 2} \ln x \\ = & 4 + \ln 2 \end{array}$

Døme 2

Rekn ut $\lim_{x \to 1} \frac{3 x + 1}{x + 1}$ ved å bruke grenseverdisetningane.

Løysing

Vi bruker den fjerde grenseverdisetninga.

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to 1} \frac{3 x + 1}{x + 1} & = & \frac{\lim_{x \to 1} (3 x + 1)}{\lim_{x \to 1} (x + 1)} \\ = & \frac{3 \cdot 1 + 1}{1 + 1} \\ = & 2 \end{array}$