Hopp til innhald
Oppgåve

Grenseverdiar til polynom og rasjonale uttrykk

Løys oppgåvene utan hjelpemiddel. Sjekk svaret ditt ved å bruke CAS i GeoGebra.

2.1.10

Finn grenseverdien.

a) limx2(x3-x2+2)

Løysing

limx2(x3-x2+2)=23-22+2=6

Løysing med CAS i GeoGebra:

b) limx2(x3-x2-8)

Løysing

limx2(x3-x2-8)=23-22-8=-4

c) limx2x+2x

Løysing

limx2x+2x=2+22=2

d) limx2x-2x

Løysing

limx2x-2x=2-22=02=0

2.1.11

Finn grenseverdien dersom han eksisterer.

a) limx0x+2x

Løysing

Teljaren blir 2 sidan 0+2=2.

Nemnaren blir 0.

Uttrykket blir 20.

Vi kan ikkje dele på 0, og derfor eksisterer ikkje grenseverdien.

Løysing med CAS i GeoGebra:

b) limx2x+2x-2

Løysing

Teljaren blir 4 sidan 2+2=4.

Nemnaren blir 0.

Uttrykket blir 40.

Vi kan ikkje dele på 0, og derfor eksisterer ikkje grenseverdien.

c) limx3x2-9x-2

Løysing

limx3x2-9x-2=32-93-2=01=0

d) limx2x-2x2-4

Løysing

Teljaren blir 0 sidan 2-2=0.

Nemnaren blir 0 sidan (2·2)-4=0.

Uttrykket blir 00.

Vi sjekkar om det er mogleg å forkorte uttrykket:

limx2x-2x2-4=limx2x-2(x+2)(x-2)=12+2=14

2.1.12

Finn grenseverdien dersom han eksisterer.

a) limx33x-9x2-9

Løysing

Teljaren blir 0 sidan 3·3-9=0.

Nemnaren blir 0 sidan 32-9=0.

Uttrykket blir 00.

Vi sjekkar om det er mogleg å forkorte uttrykket:

limx33x-9x2-9=limx33(x-3)(x+3)(x-3)=33+3=12

b) limx22x-4(2x)2-8x

Løysing

Teljaren blir 0 sidan 2·2-4=0.

Nemnaren blir 0 sidan (2·2)2-8·2=0.

Uttrykket blir 00.

Vi sjekkar om det er mogleg å forkorte uttrykket:

limx22x-4(2x)2-8x=limx22x-42x(2x-4)=12·2=14

c) limx13x-62x2-2x

Løysing

Teljaren blir -3 sidan 3·1-6=-3.

Nemnaren blir 0 sidan 2·12-2·1=0.

Uttrykket blir -30, og grenseverdien eksisterer ikkje.

d) limx03x2x2-6x

Løysing

Teljaren blir 0 sidan 3·0=0.

Nemnaren blir 0 sidan 2·0-6·0=0.

Uttrykket blir 00.

Vi sjekkar om det er mogleg å forkorte uttrykket:

limx03x2x2-6x=limx03x2x(x-3)limx032(x-3)=32(-3)=3-6=-12

2.1.13

Tre elevar har løyst kvar si oppgåve om grenseverdiar. Vurder løysingane.

a) Joachim fekk oppgåva limx4x2-5x+4x-4.

Her er løysinga hans:

limx4x2-5x+4x-4=16-20+40

Ein kan ikkje dele på 0, og derfor eksisterer ikkje grenseverdien.

Løysing

Joachim har sett inn 4 for x i teljaren og nemnaren. Deretter har han rekna ut at nemnaren blir 0 og konkludert at ein ikkje kan dele på 0. Det verkar ikkje som om han har sett eller kjenner til at når vi får 0 i både teljaren og nemnaren, bør vi prøve å faktorisere og forkorte uttrykket. Vi får eit såkalla 00-uttrykk.

Teljaren blir 0 sidan (4·4)-(5·4)+4=0.

Nemnaren blir 0 sidan 4-4=0.

Uttrykket blir 00.

Når vi får eit 00-uttrykk, sjekkar vi om det er mogleg å forkorte uttrykket. Vi ser at ein kan faktorisere teljaren og forkorte brøken med x-4.

limx4x2-5x+4x-4=limx4 (x-4)(x-1)(x-4)=4-11=3

b) Sara fekk oppgåva limx2x2+x-6x-2.

Her er løysinga hennar:

Teljaren blir 0 sidan (2·2)+2-6=0.

Nemnaren blir 0 sidan 2-2=0.

Uttrykket blir 00.

Eg prøver å faktorisere teljaren:

limx2x2+x-6x-2=limx2(x-3)(x-2)(x-2)=(2-3)·11=-1

Grenseverdien er -1.

Løysing

Sara fekk ein reknefeil då ho faktoriserte teljaren.

x2+x-6=(x-2)(x+3), mens Sara skreivx2+x-6=(x-2)(x-3)

limx2x2+x-6x-2=limx2(x+3)(x-2)(x-2)=(2+3)·11=5

c) Mads fekk oppgåva limx4x-2x-4.

Her er løysinga hans:

limx4x-2x-4=limx4x-2(x-2)(x+2)=4-2(4-2)(4+2)=2-22·6=012=0

Grenseverdien er 0.

Løysing

Mads har gått rett på faktorisering av nemnaren. Han faktoriserer x-4 som om det stod x2-4. Då blir nemnaren ikkje riktig, og det fører til feil svar.

Teljaren blir 0 sidan 4-2=2-2=0.

Nemnaren blir 0 sidan 4-4=0.

Uttrykket blir 00.

Vi sjekkar om det er mogleg å forkorte uttrykket:

limx4x-2x-4=limx4x-2(x+2)(x-2)=14+2=14

2.1.14

a) limx9x-3x-9

Løysing

Teljaren blir 0 sidan 9-3=3-3=0.

Nemnaren blir 0 sidan 9-9=0.

Uttrykket blir 00.

Vi sjekkar om det er mogleg å faktorisere og forkorte uttrykket:

limx9x-3x-9 = limx9x-3(x+3)(x-3)= limx91(x+3)=19+3=16

Det er òg mogleg å løyse oppgåva slik:

limx9x-3x-9 = limx9(x-3)·(x+3)(x-9)·(x+3)= limx9x-9(x-9)·(x+3)= 1x+3=16

Løysing med CAS i GeoGebra:

b) limx16x-4x-16

Løysing

Teljaren blir 0 sidan 16-4=0.

Nemnaren blir 0 sidan 16-16=0.

Uttrykket blir 00.

Vi sjekkar om det er mogleg å faktorisere og forkorte uttrykket:

limx16x-4x-16 = limx16(x-4)(x+4)(x-16)(x+4)= limx16x-16(x-16)(x+4)limx161(x+4) = 116+4=18

Det er òg mogleg å løyse oppgåva slik:

limx16x-4x-16 = limx16(x-4)(x+4)·(x-4)  = limx161(x+4) = 116+4 = 18

c) limx4x-4x2-16

Løysing

Teljaren blir 0 sidan 4-4=0.

Nemnaren blir 0 sidan 42-16=0.

Uttrykket blir 00.

Vi sjekkar om det er mogleg å faktorisere og forkorte uttrykket:

limx4x-4x2-16 = limx4x-4(x+4)(x-4)

Vi multipliserer teljaren og nemnaren med x-4.

limx4(x-4)·x-4(x+4)(x-4)·x-4 = limx4x-4(x+4)(x-4)·x-4limx4x-4(x+4)(x-4)·x-4 = 1(4+4)·0

Grenseverdien eksisterer ikkje.

d) limx222x-4x-2

Løysing

Teljaren blir 0 sidan 22·2-4=4-4=0.

Nemnaren blir 0 sidan 2-2=0.

Uttrykket blir 00.

Vi sjekkar om det er mogleg å faktorisere og forkorte uttrykket:

limx222x-4x-2=limx22(2x-2)(x-2)(x+2)

2=2·2og2x=2·x

limx22·2·(x-2)(x-2)(x+2) = limx22·2·(x-2)(x-2)(x+2)limx22·2(x+2) = 222+2=2222=1

e) limx1x+3-2x-1

Løysing

Teljaren blir 0 sidan 1+3-2=4-2=0.

Nemnaren blir 0 sidan 1-1=0.

Uttrykket blir 00.

Vi sjekkar om det er mogleg å faktorisere og forkorte uttrykket:

limx1x+3-2x-1 = limx1(x+3-2)·x+3+2(x-1)·(x+3+2) = limx1x+3-4(x-1)·(x+3+2)= limx1x-1(x-1)·(x+3+2) = limx11(x+3+2)= 1(1+3+2) = 14+2 = 14

f) limx0x1+2x-1

Løysing

Teljaren blir 0 sidan x=0.

Nemnaren blir 0 sidan 1+2·0-1=1-1=0.

Uttrykket blir 00.

Vi sjekkar om det er mogleg å faktorisere og forkorte uttrykket:

limx0x·(1+2x+1)(1+2x-1)(1+2x+1) = limx0x·(1+2x+1)1+2x-1= limx0x·(1+2x+1)2x= 1+12=22=1