Finn grenseverdien.
a) lim x → 2 ( x 3 - x 2 + 2 )
Løysing lim x → 2 ( x 3 - x 2 + 2 ) = 2 3 - 2 2 + 2 = 6
Løysing med CAS i GeoGebra:
b) lim x → 2 ( x 3 - x 2 - 8 )
Løysing lim x → 2 ( x 3 - x 2 - 8 ) = 2 3 - 2 2 - 8 = - 4
c) lim x → 2 x + 2 x
Løysing lim x → 2 x + 2 x = 2 + 2 2 = 2
d) lim x → 2 x - 2 x
Løysing lim x → 2 x - 2 x = 2 - 2 2 = 0 2 = 0
Finn grenseverdien dersom han eksisterer.
a) lim x → 0 x + 2 x
Løysing Teljaren blir 2 sidan 0 + 2 = 2 .
Nemnaren blir 0 .
Uttrykket blir 2 0 .
Vi kan ikkje dele på 0 , og derfor eksisterer ikkje grenseverdien.
Løysing med CAS i GeoGebra:
Grenseverdien eksisterer ikkje. Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0 Vis meir b) lim x → 2 x + 2 x - 2
Løysing Teljaren blir 4 sidan 2 + 2 = 4 .
Nemnaren blir 0 .
Uttrykket blir 4 0 .
Vi kan ikkje dele på 0 , og derfor eksisterer ikkje grenseverdien.
c) lim x → 3 x 2 - 9 x - 2
Løysing lim x → 3 x 2 - 9 x - 2 = 3 2 - 9 3 - 2 = 0 1 = 0
d) lim x → 2 x - 2 x 2 - 4
Løysing Teljaren blir 0 sidan 2 - 2 = 0 .
Nemnaren blir 0 sidan ( 2 · 2 ) - 4 = 0 .
Uttrykket blir 0 0 .
Vi sjekkar om det er mogleg å forkorte uttrykket:
lim x → 2 x - 2 x 2 - 4 = lim x → 2 x - 2 ( x + 2 ) ( x - 2 ) = 1 2 + 2 = 1 4
Finn grenseverdien dersom han eksisterer.
a) lim x → 3 3 x - 9 x 2 - 9
Løysing Teljaren blir 0 sidan 3 · 3 - 9 = 0 .
Nemnaren blir 0 sidan 3 2 - 9 = 0 .
Uttrykket blir 0 0 .
Vi sjekkar om det er mogleg å forkorte uttrykket:
lim x → 3 3 x - 9 x 2 - 9 = lim x → 3 3 ( x - 3 ) ( x + 3 ) ( x - 3 ) = 3 3 + 3 = 1 2
b) lim x → 2 2 x - 4 ( 2 x ) 2 - 8 x
Løysing Teljaren blir 0 sidan 2 · 2 - 4 = 0 .
Nemnaren blir 0 sidan ( 2 · 2 ) 2 - 8 · 2 = 0 .
Uttrykket blir 0 0 .
Vi sjekkar om det er mogleg å forkorte uttrykket:
lim x → 2 2 x - 4 ( 2 x ) 2 - 8 x = lim x → 2 2 x - 4 2 x ( 2 x - 4 ) = 1 2 · 2 = 1 4
c) lim x → 1 3 x - 6 2 x 2 - 2 x
Løysing Teljaren blir - 3 sidan 3 · 1 - 6 = - 3 .
Nemnaren blir 0 sidan 2 · 1 2 - 2 · 1 = 0 .
Uttrykket blir - 3 0 , og grenseverdien eksisterer ikkje.
d) lim x → 0 3 x 2 x 2 - 6 x
Løysing Teljaren blir 0 sidan 3 · 0 = 0 .
Nemnaren blir 0 sidan 2 · 0 - 6 · 0 = 0 .
Uttrykket blir 0 0 .
Vi sjekkar om det er mogleg å forkorte uttrykket:
lim x → 0 3 x 2 x 2 - 6 x = lim x → 0 3 x 2 x ( x - 3 ) lim x → 0 3 2 ( x - 3 ) = 3 2 ( - 3 ) = 3 - 6 = - 1 2
Tre elevar har løyst kvar si oppgåve om grenseverdiar. Vurder løysingane.
a) Joachim fekk oppgåva lim x → 4 x 2 - 5 x + 4 x - 4 .
Her er løysinga hans:
lim x → 4 x 2 - 5 x + 4 x - 4 = 16 - 20 + 4 0
Ein kan ikkje dele på 0, og derfor eksisterer ikkje grenseverdien.
Løysing Joachim har sett inn 4 for x i teljaren og nemnaren. Deretter har han rekna ut at nemnaren blir 0 og konkludert at ein ikkje kan dele på 0. Det verkar ikkje som om han har sett eller kjenner til at når vi får 0 i både teljaren og nemnaren, bør vi prøve å faktorisere og forkorte uttrykket. Vi får eit såkalla 0 0 -uttrykk.
Teljaren blir 0 sidan ( 4 · 4 ) - ( 5 · 4 ) + 4 = 0 .
Nemnaren blir 0 sidan 4 - 4 = 0 .
Uttrykket blir 0 0 .
Når vi får eit 0 0 -uttrykk, sjekkar vi om det er mogleg å forkorte uttrykket. Vi ser at ein kan faktorisere teljaren og forkorte brøken med x - 4 .
lim x → 4 x 2 - 5 x + 4 x - 4 = lim x → 4 ( x - 4 ) ( x - 1 ) ( x - 4 ) = 4 - 1 1 = 3
b) Sara fekk oppgåva lim x → 2 x 2 + x - 6 x - 2 .
Her er løysinga hennar:
Teljaren blir 0 sidan ( 2 · 2 ) + 2 - 6 = 0 .
Nemnaren blir 0 sidan 2 - 2 = 0 .
Uttrykket blir 0 0 .
Eg prøver å faktorisere teljaren:
lim x → 2 x 2 + x - 6 x - 2 = lim x → 2 ( x - 3 ) ( x - 2 ) ( x - 2 ) = ( 2 - 3 ) · 1 1 = - 1
Grenseverdien er - 1 .
Løysing Sara fekk ein reknefeil då ho faktoriserte teljaren.
x 2 + x - 6 = ( x - 2 ) ( x + 3 ) , mens Sara skreivx 2 + x - 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 )
lim x → 2 x 2 + x - 6 x - 2 = lim x → 2 ( x + 3 ) ( x - 2 ) ( x - 2 ) = ( 2 + 3 ) · 1 1 = 5
c) Mads fekk oppgåva lim x → 4 x - 2 x - 4 .
Her er løysinga hans:
lim x → 4 x - 2 x - 4 = lim x → 4 x - 2 ( x - 2 ) ( x + 2 ) = 4 - 2 ( 4 - 2 ) ( 4 + 2 ) = 2 - 2 2 · 6 = 0 12 = 0
Grenseverdien er 0 .
Løysing Mads har gått rett på faktorisering av nemnaren. Han faktoriserer x - 4 som om det stod x 2 - 4 . Då blir nemnaren ikkje riktig, og det fører til feil svar.
Teljaren blir 0 sidan 4 - 2 = 2 - 2 = 0 .
Nemnaren blir 0 sidan 4 - 4 = 0 .
Uttrykket blir 0 0 .
Vi sjekkar om det er mogleg å forkorte uttrykket:
lim x → 4 x - 2 x - 4 = lim x → 4 x - 2 ( x + 2 ) ( x - 2 ) = 1 4 + 2 = 1 4
a) lim x → 9 x - 3 x - 9
Løysing Teljaren blir 0 sidan 9 - 3 = 3 - 3 = 0 .
Nemnaren blir 0 sidan 9 - 9 = 0 .
Uttrykket blir 0 0 .
Vi sjekkar om det er mogleg å faktorisere og forkorte uttrykket:
lim x → 9 x - 3 x - 9 = lim x → 9 x - 3 ( x + 3 ) ( x - 3 ) = lim x → 9 1 ( x + 3 ) = 1 9 + 3 = 1 6
Det er òg mogleg å løyse oppgåva slik:
lim x → 9 x - 3 x - 9 = lim x → 9 ( x - 3 ) · ( x + 3 ) ( x - 9 ) · ( x + 3 ) = lim x → 9 x - 9 ( x - 9 ) · ( x + 3 ) = 1 x + 3 = 1 6
Løysing med CAS i GeoGebra:
Bruk av kommandoen "Grenseverdi" i CAS i GeoGebra. Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0 Vis meir b) lim x → 16 x - 4 x - 16
Løysing Teljaren blir 0 sidan 16 - 4 = 0 .
Nemnaren blir 0 sidan 16 - 16 = 0 .
Uttrykket blir 0 0 .
Vi sjekkar om det er mogleg å faktorisere og forkorte uttrykket:
lim x → 16 x - 4 x - 16 = lim x → 16 ( x - 4 ) ( x + 4 ) ( x - 16 ) ( x + 4 ) = lim x → 16 x - 16 ( x - 16 ) ( x + 4 ) lim x → 16 1 ( x + 4 ) = 1 16 + 4 = 1 8
Det er òg mogleg å løyse oppgåva slik:
lim x → 16 x - 4 x - 16 = lim x → 16 ( x - 4 ) ( x + 4 ) · ( x - 4 ) = lim x → 16 1 ( x + 4 ) = 1 16 + 4 = 1 8
c) lim x → 4 x - 4 x 2 - 16
Løysing Teljaren blir 0 sidan 4 - 4 = 0 .
Nemnaren blir 0 sidan 4 2 - 16 = 0 .
Uttrykket blir 0 0 .
Vi sjekkar om det er mogleg å faktorisere og forkorte uttrykket:
lim x → 4 x - 4 x 2 - 16 = lim x → 4 x - 4 ( x + 4 ) ( x - 4 )
Vi multipliserer teljaren og nemnaren med x - 4 .
lim x → 4 ( x - 4 ) · x - 4 ( x + 4 ) ( x - 4 ) · x - 4 = lim x → 4 x - 4 ( x + 4 ) ( x - 4 ) · x - 4 lim x → 4 x - 4 ( x + 4 ) ( x - 4 ) · x - 4 = 1 ( 4 + 4 ) · 0
Grenseverdien eksisterer ikkje.
d) lim x → 2 2 2 x - 4 x - 2
Løysing Teljaren blir 0 sidan 2 2 · 2 - 4 = 4 - 4 = 0 .
Nemnaren blir 0 sidan 2 - 2 = 0 .
Uttrykket blir 0 0 .
Vi sjekkar om det er mogleg å faktorisere og forkorte uttrykket:
lim x → 2 2 2 x - 4 x - 2 = lim x → 2 2 ( 2 x - 2 ) ( x - 2 ) ( x + 2 )
2 = 2 · 2 og2 x = 2 · x
lim x → 2 2 · 2 · ( x - 2 ) ( x - 2 ) ( x + 2 ) = lim x → 2 2 · 2 · ( x - 2 ) ( x - 2 ) ( x + 2 ) lim x → 2 2 · 2 ( x + 2 ) = 2 2 2 + 2 = 2 2 2 2 = 1
e) lim x → 1 x + 3 - 2 x - 1
Løysing Teljaren blir 0 sidan 1 + 3 - 2 = 4 - 2 = 0 .
Nemnaren blir 0 sidan 1 - 1 = 0 .
Uttrykket blir 0 0 .
Vi sjekkar om det er mogleg å faktorisere og forkorte uttrykket:
lim x → 1 x + 3 - 2 x - 1 = lim x → 1 ( x + 3 - 2 ) · x + 3 + 2 ( x - 1 ) · ( x + 3 + 2 ) = lim x → 1 x + 3 - 4 ( x - 1 ) · ( x + 3 + 2 ) = lim x → 1 x - 1 ( x - 1 ) · ( x + 3 + 2 ) = lim x → 1 1 ( x + 3 + 2 ) = 1 ( 1 + 3 + 2 ) = 1 4 + 2 = 1 4
f) lim x → 0 x 1 + 2 x - 1
Løysing
Teljaren blir 0 sidan x = 0 .
Nemnaren blir 0 sidan 1 + 2 · 0 - 1 = 1 - 1 = 0 .
Uttrykket blir 0 0 .
Vi sjekkar om det er mogleg å faktorisere og forkorte uttrykket:
lim x → 0 x · ( 1 + 2 x + 1 ) ( 1 + 2 x - 1 ) ( 1 + 2 x + 1 ) = lim x → 0 x · ( 1 + 2 x + 1 ) 1 + 2 x - 1 = lim x → 0 x · ( 1 + 2 x + 1 ) 2 x = 1 + 1 2 = 2 2 = 1