2.1.1
Tenk deg at ein ven har 4 runde pizzaer, og at du får halvparten av desse, det vil seie 2 pizzaer. Venen din held fram med å gi deg av pizzaene sine, men kvar gong du får pizza, så får du halvparten så mykje som du fekk sist. Aller først får du altså 2 pizzaer. Halvparten av 2 er 1, så du får deretter 1 pizza. No har du til saman 3 heile pizzaer. Deretter får du ein halv pizza, og då har du 3 og ein halv pizza til saman. Så får du ein kvart pizza, deretter får du ein åttandedels pizza, og slik held det fram. Korleis kan vi uttrykkje dette matematisk? Korleis vil dette ende?
Utforskande oppgåve
Bruk ulike strategiar for å finne kva summen av tala 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8 og så vidare må vere. Tala held fram i det same mønsteret i det uendelege.
Under vil du finne nokre spørsmål som kan hjelpe deg til å utvikle det matematiske språket ditt. Du vil òg få nokre strategiar som du kan bruke i den utforskande oppgåva over.
a) Startverdien er 2. Det neste leddet er alltid halvparten av det førre leddet. Kva blir dei 6 første ledda i rekkja?
Løysing
b) Korleis kan vi uttrykkje summen av dei 10 første ledda ved hjelp av potensar med 2 som grunntal?
Løysing
c) Bruk n som nummeret på leddet i rekkja. Då vil
Løysing
d) Kva blir summen av dei 6 første ledda?
Løysing
e) Rekn ut summen av dei sju første ledda. Deretter summerer du dei åtte første, så dei ni første og til sist dei ti første ledda. Kva blir dei ulike summane?
Løysing
7 ledd:
8 ledd:
9 ledd:
10 ledd:
f) Kva kan vi seie førebels om summen av rekkja?
Løysing
Kvart nye ledd er mykje mindre enn det førre leddet, og etter kvart blir dei nye ledda mikroskopiske. Det ser ut som om summen av ledda nærmar seg 4.
g) Lag ein algoritme som gir oss dei 10 første ledda i rekkja og deretter gir oss summen av dei 10 første ledda.
Løysing
- Det første leddet blir lagt inn som startverdi.
- Programmet bereknar neste ledd ved at det første leddet blir multiplisert med 1/2.
- Programmet lagar ei lykkje som gjentek linja over 8 gonger.
- Ledda blir summerte, og 4 desimalar blir tekne med.
- Programmet skriv ut dei 10 første ledda.
- Programmet skriv ut summen av dei 10 første ledda.
h) Lag eit program som gir oss summen av dei 10 første ledda i rekkja.
Løysingsforslag 1
Løysingsforslag 2
i) Samanlikn svara du fekk i e) og g).
Løysing
Vi ser at både koden og vår eiga utrekning viser at summen av ledda går mot 4.
j) Kva skjer med summen av rekkja om vi summerer dei 15 første ledda og bruker éin desimal i summen? Gjer om på koden.
Løysingsforslag 1
Vi ser at summen framleis nærmar seg 4 med 15 ledd. Sidan vi berre bruker éin desimal i summen, blir svaret vi får 4, men dette kjem berre av avrunding. Rekkja vil aldri blir nøyaktig 4, men heile tida kome nærare.
Løysingsforslag 2
Vi ser at summen framleis nærmar seg 4 med 15 ledd. Sidan vi berre bruker éin desimal i summen, blir svaret vi får 4, men dette kjem berre av avrunding. Rekkja vil aldri blir nøyaktig 4, men heile tida kome nærare.
k) Kva blir konklusjonen på den utforskande oppgåva? Vi har prøvd å rekne på det ved hjelp av ulike strategiar. Kva skjer om vi gjer ho som ei praktisk oppgåve og prøver å leggje saman alle pizzadelane? Kjem vi fram til det same svaret?
2.1.2
Gitt funksjonen
a) Kva er definisjonsområdet til
Løysing
Funksjonen er ikkje definert for
b) Kva skjer med
Løysing
c) Sidan
Løysing
d) Kva kan ein seie om
Løysing
Når vi studerer verdiane vi har rekna ut i tabellen, ser det ut som om
e) Korleis kan vi, med matematisk språk, beskrive kva som skjer med
Løysing
f) Prøv å finne grenseverdien ved hjelp av algebra. Start med å faktorisere teljaren.
Løysing
Vi bruker tredje kvadratsetning (konjugatsetninga) baklengs:
g) Finn grenseverdiane til
Løysing
h) Teikn grafen til
Løysing
2.1.3
Gitt funksjonen
Funksjonen er ikkje definert for x=2, for då blir nemnaren lik null. Det er likevel aktuelt å spørje seg kva som skjer med verdiane til funksjonen når x-verdiane nærmar seg 2.
Prøv å lage eit program som reknar ut nokre funksjonsverdiar for
a) Skriv algoritmen til programmet.
Løysing
Algoritmen til den eigendefinerte funksjonen
Programmet startar med ein startverdi som er 2.
Programmet definerer ein differanse som er 0,1.
Programmet reknar ut følgjande:
f x = x 2 - 4 x - 2 . Programmet subtraherer differansen frå
-startverdien og puttar verdien det får inn ix .f x Neste runde gjer programmet det same, men no blir differansen addert til startverdien.
Programmet rundar av
-verdi og funksjonsverdien og viser dette i ei oversikt med likskapsteikn mellom.x
b) Skriv koden til programmet.
Løysingsforslag