Oppgåve

Utforsking av grenseverdiar

Kva er ein grenseverdi? Vi bruker rekkjer og funksjonar til å utforske kva som skjer når vi nærmar oss ein grenseverdi. Oppgåvene inneheld delar med programmering.

Ein pizza som er delt opp i bitar. Illustrasjon. — Bilete: Elisabet Romedal / CC BY-SA 4.0

2.1.1

Tenk deg at ein ven har 4 runde pizzaer, og at du får halvparten av desse, det vil seie 2 pizzaer. Venen din held fram med å gi deg av pizzaene sine, men kvar gong du får pizza, så får du halvparten så mykje som du fekk sist. Aller først får du altså 2 pizzaer. Halvparten av 2 er 1, så du får deretter 1 pizza. No har du til saman 3 heile pizzaer. Deretter får du ein halv pizza, og då har du 3 og ein halv pizza til saman. Så får du ein kvart pizza, deretter får du ein åttandedels pizza, og slik held det fram. Korleis kan vi uttrykkje dette matematisk? Korleis vil dette ende?

Utforskande oppgåve

Bruk ulike strategiar for å finne kva summen av tala 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8 og så vidare må vere. Tala held fram i det same mønsteret i det uendelege.

Under vil du finne nokre spørsmål som kan hjelpe deg til å utvikle det matematiske språket ditt. Du vil òg få nokre strategiar som du kan bruke i den utforskande oppgåva over.

a) Startverdien er 2. Det neste leddet er alltid halvparten av det førre leddet. Kva blir dei 6 første ledda i rekkja?

Løysing

$\begin{matrix} 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \end{matrix}$

b) Korleis kan vi uttrykkje summen av dei 10 første ledda ved hjelp av potensar med 2 som grunntal?

Løysing

$\begin{array}{rcl} = & 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{256} \\ = & 2^{1} + 2^{0} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \frac{1}{2^{5}} + \frac{1}{2^{6}} + \frac{1}{2^{7}} + \frac{1}{2^{8}} \\ = & 2^{1} + 2^{0} + 2^{- 1} + 2^{- 2} + 2^{- 3} + 2^{- 4} + 2^{- 5} + 2^{- 6} + 2^{- 7} + 2^{- 8} \end{array}$

c) Bruk n som nummeret på leddet i rekkja. Då vil $n = 3$ vere $\frac{1}{2}$ . Korleis kan vi uttrykkje eit ledd ved hjelp av $n$ ?

Løysing

$\frac{1}{2^{n - 2}}$

d) Kva blir summen av dei 6 første ledda?

Løysing

$\begin{array}{rcl} 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \\ = & \frac{2 \cdot 64}{64} + \frac{1 \cdot 64}{64} + \frac{1 \cdot 32}{2 \cdot 32} + \frac{1 \cdot 16}{4 \cdot 16} + \frac{1 \cdot 8}{8 \cdot 8} + \frac{1 \cdot 4}{16 \cdot 4} \\ = & \frac{128}{64} + \frac{64}{64} + \frac{32}{64} + \frac{16}{64} + \frac{8}{64} + \frac{4}{64} \\ = & \frac{252}{64} \\ \approx & 3, 9375 \end{array}$

e) Rekn ut summen av dei sju første ledda. Deretter summerer du dei åtte første, så dei ni første og til sist dei ti første ledda. Kva blir dei ulike summane?

Løysing

7 ledd: $\frac{252}{64} + \frac{1 \cdot 2}{32 \cdot 2} = \frac{252}{64} + \frac{2}{64} \begin{matrix} \end{matrix} = \frac{254}{64} \approx 3, 9688$

8 ledd: $\frac{254}{64} + \frac{1}{64} = \frac{255}{64} \approx 3, 9844$

9 ledd: $\frac{255}{64} + \frac{1}{128} = \frac{510}{128} + \frac{1}{128} = \frac{511}{128} \approx 3, 9922$

10 ledd: $\frac{511}{128} + \frac{1}{256} = \frac{1022}{256} + \frac{1}{256} = \frac{1023}{256} \approx 3, 9961$

f) Kva kan vi seie førebels om summen av rekkja?

Løysing

Kvart nye ledd er mykje mindre enn det førre leddet, og etter kvart blir dei nye ledda mikroskopiske. Det ser ut som om summen av ledda nærmar seg 4.

g) Lag ein algoritme som gir oss dei 10 første ledda i rekkja og deretter gir oss summen av dei 10 første ledda.

Løysing

Det første leddet blir lagt inn som startverdi.
Programmet bereknar neste ledd ved at det første leddet blir multiplisert med 1/2.
Programmet lagar ei lykkje som gjentek linja over 8 gonger.
Ledda blir summerte, og 4 desimalar blir tekne med.
Programmet skriv ut dei 10 første ledda.
Programmet skriv ut summen av dei 10 første ledda.

h) Lag eit program som gir oss summen av dei 10 første ledda i rekkja.

Løysingsforslag 1

Rekkje med 10 ledd

1rekkje=[2]             #skriv det første leddet i rekkja
2    
3for i in range (1,10):           #lagar ei lykkje for dei 9 neste ledda
4    rekkje.append(2*(1/2)**i)  #bereknar neste ledd
5    
6sum  = 0                        
7for ledd in list(rekkje):        #lagar ei lykkje
8    sum = round(sum + ledd,4)  #summerer dei 10 første ledda og rundar av til 4 desimalar
9    
10print("Rekkja med 10 ledd er:", rekkje)  #skriv ut dei 10 første ledda
11print("Summen av rekkja er:",sum)  #skriv ut summen av dei 10 første ledda

Løysingsforslag 2

Rekkje med 10 ledd

1startverdi=2     #definerer variabelen startverdi
2tal=10           #definerer variabelen tal
3rekkje=[]        #definerer variabelen rekkje
4sum=0            #definerer variabelen sum
5
6for i in range (0,tal, 1):        #reknar ut dei 10 første ledda i rekkja
7    rekkje.append(startverdi**(1-i))
8    sum=sum+rekkje[i]                 
9    
10sum=round(sum,4)                    #summerer ledda som er rekna ut over og rundar av                                                                                           #til 4 desimalar
11
12print('Dei 10 første ledda i rekkja:',rekkje)   #skriv ut dei 10 første ledda
13print('Summen av rekkja er:',str(sum))         #skriv ut summen av dei 10 første ledda

i) Samanlikn svara du fekk i e) og g).

Løysing

Vi ser at både koden og vår eiga utrekning viser at summen av ledda går mot 4.

j) Kva skjer med summen av rekkja om vi summerer dei 15 første ledda og bruker éin desimal i summen? Gjer om på koden.

Løysingsforslag 1

Vi ser at summen framleis nærmar seg 4 med 15 ledd. Sidan vi berre bruker éin desimal i summen, blir svaret vi får 4, men dette kjem berre av avrunding. Rekkja vil aldri blir nøyaktig 4, men heile tida kome nærare.

Rekkje med 15 ledd

1rekkje=[2]             #skriv det første leddet i rekkja
2    
3for i in range (1,15):           #lagar ei lykkje for dei 14 neste ledda
4    rekkje.append(2*(1/2)**i)     #bereknar neste ledd
5   
6sum  = 0       
7                 
8for ledd in list(rekkje):           #lagar ei lykkje
9    sum = round(sum + ledd,1)       #summerer ledda og rundar av til 1 desimal
10
11print("Rekkja med 15 ledd er:",rekkje) #skriv ut dei 15 første ledda
12print("Summen av rekkja er:",sum)      #skriv ut summen av dei 15 første ledda

Løysingsforslag 2

Rekkje med 15 ledd

1startverdi=2        #definerer variabelen startverdi
2tal=15              #definerer variabelen tal
3rekkje=[]           #definerer variabelen rekkje
4sum=0               #definerer variabelen sum
5
6for i in range (0,tal, 1):              #lagar ei lykkje
7    rekkje.append(startverdi**(1-i))    #reknar ut dei 10 første ledda i rekkja
8    sum=sum+rekkje[i]
9    
10sum=round(sum,1)                      #rundar av til 1 desimal
11
12print('Dei 10 første ledda i rekkja:',rekkje)  #skriv ut dei 10 første ledda
13print('Summen av rekkja er:',str(sum))         #skriv ut summen av dei 10 første ledda

k) Kva blir konklusjonen på den utforskande oppgåva? Vi har prøvd å rekne på det ved hjelp av ulike strategiar. Kva skjer om vi gjer ho som ei praktisk oppgåve og prøver å leggje saman alle pizzadelane? Kjem vi fram til det same svaret?

2.1.2

Gitt funksjonen

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

a) Kva er definisjonsområdet til $f (x)$ ? Kva betyr det for funksjonen?

Løysing

$D_{f} = ℝ \ \{1\}$

Funksjonen er ikkje definert for $x = 1$ .

b) Kva skjer med $f (x)$ dersom $x$ får verdien 1?

Løysing

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & \frac{x^{2} - 1}{x - 1} \\ f (1) & = & \frac{1^{2} - 1}{1 - 1} \\ = & \frac{0}{0} \end{array}$

$\frac{0}{0}$ er ikkje definert.

c) Sidan $f (x)$ for $x = 1$ er udefinert, vil vi prøve å rekne ut verdiane i nærleiken av $x = 1$ . Bruk tabellen til å rekne ut nokre funksjonsverdiar nær $x = 1$ .

$\begin{matrix} x & 0, 8 & 0, 9 & 0, 99 & 0, 999 & 1, 001 & 1, 01 & 1, 1 & 1, 2 \\ f (x) \end{matrix}$

Løysing

$\begin{matrix} x & 0, 8 & 0, 9 & 0, 99 & 0, 999 & 1, 001 & 1, 01 & 1, 1 & 1, 2 \\ f (x) & 1, 8 & 1, 9 & 1, 99 & 1, 999 & 2, 001 & 2, 01 & 2, 1 & 2, 2 \end{matrix}$

d) Kva kan ein seie om $f (x)$ når $x$ nærmar seg 1 ut ifrå verdiane i tabellen over?

Løysing

Når vi studerer verdiane vi har rekna ut i tabellen, ser det ut som om $f (x)$ nærmar seg verdien 2 når $x$ nærmar seg 1. Dette gjeld frå begge sider, det vil seie både når vi nærmar oss x=1 for verdiar lågare enn 1 og for verdiar høgare enn 1:

$\begin{matrix} x : & \overset{0, 999}{\to} & 1 & \overset{1, 001}{\leftarrow} \\ f (x) : & \overset{1, 999}{\to} & 2 & \overset{2, 001}{\leftarrow} \end{matrix}$

e) Korleis kan vi, med matematisk språk, beskrive kva som skjer med $f (x)$ når $x$ nærmar seg 1?

Løysing

$\lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

f) Prøv å finne grenseverdien ved hjelp av algebra. Start med å faktorisere teljaren.

Løysing

Vi bruker tredje kvadratsetning (konjugatsetninga) baklengs: $(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2} .$

$x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$

g) Finn grenseverdiane til $f (x)$ med den faktoriserte teljaren.

Løysing

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to 1} f (x) & = & \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} \\ = & \lim_{x \to 1} \frac{(x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 1)}{1} \\ = & \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \end{array}$

h) Teikn grafen til $f (x)$ .

Løysing

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x i andre minus 1 parentes slutt delt på parentes x minus 1 parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom minus 2 og 5. Grafen er ei rett linje, men for x er lik 1 er det eit brot i linja. Det er markert med to blå piler mot kvarandre. Illustrasjon. — Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-NC 4.0

2.1.3

Gitt funksjonen

$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Funksjonen er ikkje definert for x=2, for då blir nemnaren lik null. Det er likevel aktuelt å spørje seg kva som skjer med verdiane til funksjonen når x-verdiane nærmar seg 2.

$\begin{matrix} x & 1, 99000 & 1, 99990 & 1, 99999 & 2 & 2, 00001 & 2, 00010 & 2, 01000 \\ f (x) & 3, 99000 & 3, 99900 & 3, 99999 & - & 4, 00001 & 4, 00010 & 4, 01000 \end{matrix}$

Prøv å lage eit program som reknar ut nokre funksjonsverdiar for $x$ nær 2. Pass på å få med verdiar som er større enn 2 og mindre enn 2.

a) Skriv algoritmen til programmet.

Løysing

Algoritmen til den eigendefinerte funksjonen $f$ :

Programmet startar med ein startverdi som er 2.
Programmet definerer ein differanse som er 0,1.
Programmet reknar ut følgjande: $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2} .$
Programmet subtraherer differansen frå $x$ -startverdien og puttar verdien det får inn i $f (x)$ .
Neste runde gjer programmet det same, men no blir differansen addert til startverdien.
Programmet rundar av $x$ -verdi og funksjonsverdien og viser dette i ei oversikt med likskapsteikn mellom.

b) Skriv koden til programmet.

Løysingsforslag

Rekne ut funksjonsverdi nær 2

1def f(x):
2    return ((x**2-4)/(x-2))  #definerer funksjonen
3
4startX=2      #definerer ein startverdi
5
6diff=0.1     #definerer differansen
7for i in range (1,6,1):    #for-lykkje som blir gjenteken 5 gonger
8    xVerdi=startX-diff
9    fVerdi=round(f(xVerdi),5)
10    print('f('+str(xVerdi)+')='+str(fVerdi))  #viser x-verdi og funksjonsverdi
11    diff=diff/10
12    
13diff=0.1
14for i in range(1,6,1):    #for-lykkje som blir gjenteken 5 gonger
15    xVerdi=startX+diff
16    fVerdi=round(f(xVerdi),5)
17    print('f('+str(xVerdi)+')='+str(fVerdi))   #viser x-verdi og funksjonsverdi
18    diff=diff/10

2.1.1

Utforskande oppgåve

2.1.2

2.1.3

Reglar for bruk av teksten "Utforsking av grenseverdiar"