Praktiske døme på rasjonale funksjonar

Tove leiger ein bubil for éi veke. Prisen er 10 000 kroner. I tillegg må ho betale 3 kroner per køyrde kilometer.

Tove er interessert i kva kostnadene blir per køyrde kilometer.

Gjennomsnittsprisen per køyrde kilometer, $$ P$$, er ein funksjon av talet på køyrde kilometer, $$ x$$.

a) Finn eit uttrykk for funksjonen $$ P\left(x\right)$$. Hugs å forklare korleis du går fram.

b) Finn$$ \underset{x\to \pm \infty }{\lim }P\left(x\right)$$. Kva betyr resultatet?

c) Finn den vertikale asymptoten til funksjonen $$ P$$.

Definisjonsmengda til funksjonen avheng av det forventa talet på køyrde kilometer. La oss anta at det samla talet på køyrde kilometer ikkje overstig 9 000. Då er definisjonsmengda til funksjonen frå og med 0 til og med 9 000.

d) Teikn grafen til funksjonen. Teikn òg asymptotane. Bruk grafen til å finne ut kva gjennomsnittsprisen per køyrde kilometer blir når Tove køyrer 300 kilometer, 500 kilometer og 2 000 kilometer.

Løysing

Vi skriv inn funksjonen i CAS og bruker kommandoen Asymptote for å finne og få teikna asymptotane. Så finn vi dei tre gjennomsnittsprisane ved å lage punkt på grafen, sjå linje 3, 4 og 5 i CAS-utklippet.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Olav Kristensen

Funksjonen vart lagd inn utan å ta omsyn til definisjonsmengda. Det kan sjå ut som kommandoen Asymptote ikkje verkar då. Grafen viser at ved ei total køyrelengde på 300 kilometer blir prisen per kilometer 36 kroner. Ved total ei køyrelengde på 500 kilometer, blir prisen per kilometer 23 kroner, og ved ei total køyrelengde på 2 000 kilometer, blir prisen per kilometer 8 kroner.

Gjennomsnittleg pris per kilometer minkar når køyrelengda aukar. Grafen søkk veldig fort til å byrje med, for så å flate ut.

e) Kva betyr det i praksis at den horisontale asymptoten er $$ y=3$$?

f) Kva betyr det i praksis at den vertikale asymptoten er $$ x=0$$?

CC BY-NC-SA

Bilete: Science Photo Library, NTB scanpix

Jonas har fått ein bakterieinfeksjon som krev medisinar i form av tablettar. Konsentrasjon av medisin i blodet kan bereknast med funksjonsuttrykket $$\begin{gathered} K\left(x\right)=\frac{23x}{x^2+4} \\ \end{gathered}$$.

$$ K\left(x\right)$$ gir konsentrasjon av medisin i blodet i $$ \mathrm{mg}/\mathrm{mL}$$, og $$ x$$ er timar etter at tabletten er teken.

a) Kva slags funksjon er $$ K\left(x\right)$$?

b) Rekn ut konsentrasjonen av medisin i blodet til pasienten etter 0,5 time, 2, 6 og 12 timar.

c) Etter ei veke får Jonas beskjed om at han skal få ein lågare dose medisin, slik at konsentrasjon av medisin i blodet blir halvert. Set opp eit nytt funksjonsuttrykk $$ H\left(x\right)$$ som gir konsentrasjonen av medisin i blodet når han halverer dosen.

d) Teikn $$ $ K\left(x\right)$$$ og $$ H\left(x\right)$$ i det same koordinatsystemet.

Løysing

Vi bruker grafteiknar og legg inn funksjonsuttrykka $$ K\left(x\right)$$ og $$ H\left(x\right)$$:

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Viveca Thindberg

e) Undersøk om $$ K\left(x\right)$$ eller $$ H\left(x\right)$$ har asymptotar.

CC BY-NC

Bilete: Espen Bratlie

Ei gruppe elevar på Rundkollen vidaregåande skule planlegg å dele på russebuss. Dei får tilbod om å kjøpe ein buss for 65 000 kroner og reknar med å bruke 17 000 kroner til å pusse han opp. I tillegg bestiller dei russeklede for 3 500 kroner kvar og billettar til landstreff til 2 300 per billett.

a) Set opp eit funksjonsuttrykk som viser dei samla utgiftene $$ U\left(x\right)$$ per elev.

b) Elevane reknar ut at dei ikkje kan vere færre enn 8 eller fleire enn 16 på bussen. Set opp definisjonsmengde og verdimengde for $$ U\left(x\right)$$.

c) Finn asymptotane til funksjonen, og forklar kva dei betyr i praksis.

CC BY-NC-ND

Bilete: Ford

a) Marco har kjøpt den første bilen sin. Han betaler 5 800 kroner i månaden i billån. Bensinkostnader blir berekna til 9,8 kroner per mil. Set opp eit funksjonsuttrykk $$ B\left(x\right)$$ som viser Marco sine månadlege utgifter til bil per kilometer.

b) Staden der Marco bur, innfører bomring. Marco reknar ut at kostnader til bompengar i gjennomsnitt blir 0,19 kroner per kilometer bilkøyring. Gjer om på $$ B\left(x\right)$$ slik at bompengane kjem med i uttrykket.

c) Bestefaren til Marco får av og til skyss til butikken av Marco. Det set han stor pris på, og han tilbyr å hjelpe Marco litt med utgiftene til bilen. "Eg betaler dei månadlege utgiftene dine for dei første 50 kilometerane", seier han. Gjer om på $$ B\left(x\right)$$ slik at det viser kva Marco må betale i månadlege utgifter til bil per kilometer.

d) Teikn grafen til $$ B\left(x\right)$$, og ta med eventuelle asymptotar.

Løysing

Vi teiknar inn grafen til $$ B\left(x\right)$$ og asymptotane:

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Viveca Thindberg

d) Kva skjer dersom Marco køyrer 50 kilometer eller mindre i løpet av ein månad? Kva viser grafen til $$ B\left(x\right)$$, og korleis trur du dette blir løyst i praksis?

Ei elevbedrift vil lage mobildeksel med logoen til skulen på. Mobildeksel skal seljast til elevar og tilsette. Dei må leige ein 3D-skrivar, og det kostar 5 250 kroner. I tillegg går det med materiell for 0,67 kroner per deksel.

a) Set opp eit funksjonsuttrykk som viser utgifter per deksel $$ D\left(x\right)$$, der $$ x$$ er talet på mobildeksel.

b) Kvart mobildeksel skal ha logoen til skulen i gullbokstavar, og det kostar 0,23 kroner ekstra per deksel. Gjer om $$ D\left(x\right)$$ slik at kostnader til logoen til skulen blir tekne med.

c) Skulen bestemmer at alle tilsette skal få eit gratis mobildeksel. Det er 82 tilsette ved skulen. Dette medfører at utgiftene til produksjon av deksel berre blir delte på deksla som blir selde. Gjer om på $$ D\left(x\right)$$ for å berekne den nye prisen per mobildeksel.