Fagstoff

Grenseverdi for ein brøk når variabelen går mot uendeleg

Vi er ofte også interesserte i å finne ut korleis det går med funksjonar når den variable veks eller avtar utan grenser. Det vil seie at den ukjende variabelen går mot pluss uendeleg eller minus uendeleg.

For nokre funksjonar vil funksjonsverdiane nærme seg ein bestemt grenseverdi dersom $x$ blir veldig stor. For rasjonale funksjonar vil dette ofte vere tilfelle.

Vi seier at $f (x)$ nærmar seg $A$ som grenseverdi når $x$ blir uendeleg stor, dersom det er slik at vi kan få avstanden mellom $f (x)$ og $A$ så liten vi berre måtte ønskje, dersom vi berre vel $x$ stor nok.

Vi skriv

$\lim_{x \to \infty} f (x) = A$

Tilsvarande når den variable blir uendeleg liten, går mot minus uendeleg.

I det rasjonale uttrykket $\frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4}$ vil talet 4 i nemnaren få svært lite å seie når absoluttverdien til $x$ blir veldig stor. Brøken vil då oppføre seg som brøken $\frac{6 x^{2}}{2 x^{2}}$ som igjen er lik $\frac{6}{2} = 3$ . Dette indikerer at $\frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4}$ har talet 3 som grenseverdi når $x$ anten blir uendeleg stor eller uendeleg liten.

Ein annen måte å grunngi dette på er å dividere teljar og nemnar med den høgaste potens av $x$ som førekjem i uttrykket. I dette tilfellet er det $x^{2}$ . Vi får at

$\frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4} = \frac{\frac{6 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} = \frac{6}{2 + \frac{4}{x^{2}}}$

Når $x$ veks over alle grenser, vil $\frac{4}{x^{2}}$ gå mot null. Då vil brøken $\frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4}$ nærme seg $\frac{6}{2} = 3 .$ Det same resonnementet gjeld om $x$ går mot minus uendeleg. Vi har derfor at

$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4} = 3$

Denne skrivemåten tyder at grenseverdien er lik 3 både når $x$ går mot pluss uendeleg og mot minus uendeleg.

Vi kan føre rekninga på følgjande måte:

$\lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{2 + \frac{4}{x^{2}}} = \frac{6}{2 + 0} = 3$

Vi seier at den horisontale linja $y = 3$ er ein horisontal asymptote til grafen av uttrykket når $x$ går mot $\infty$ eller $- \infty$ . Nedanfor har vi teikna grafen til $f (x) = \frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4}$ saman med asymptotelinja $y = 3$ .

Grafen til funksjonen f av x er lik 6 x i andre delt på parentes 2 x i andre pluss 4 parentes slutt er tegna i et koordinatsystem for x-verdier mellom minus 8 og 9. I tillegg er den rette linja y er lik 3 tegnet. Grafen til f kryper tett opp til linja når x blir veldig stor eller veldig liten. Skjermutklipp. — En rasjonal funksjon med horisontal asymptote

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive Grenseverdi parentes 6 x i andre delt på parentes 2 x i andre pluss 4 parentes slutt komma, uendeleg parentes slutt. Svaret er 3. Skjermutklipp.

Ved CAS i GeoGebra får vi same svar. Når du skal skrive inn uendeleg, kan du skrive inf ("infinity", uendeleg).

CC BY-SA

Video: Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen

CC BY-SASkrive av Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist fagleg oppdatert 10.12.2020

Grenseverdi for ein brøk når variabelen går mot uendeleg

Reglar for bruk