Fagartikkel

Grenseverdiar til polynom og rasjonale uttrykk

Vi skal sjå nærare på tre situasjonar vi kan hamne i når vi ser på grenseverdiar for brøkar.

Grenseverdiar til polynomfunksjonar

Ein regel seier at grenseverdien til ein polynomfunksjon $f (x)$ når $x$ går mot ein bestemd verdi $a$ , kan vi finne ved å rekne ut $f (a)$ .

$\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ når $f$ er ein polynomfunksjon.

Eksempel

$\lim_{x \to 4} (x^{2} - 3 x + 3) = 4^{2} - 3 \cdot 4 + 3 = 7$

CAS-utrekning i GeoGebra. På linje 1 er det skrive Grenseverdi parentes x i andre minus 3 x pluss 3 komma, 4 parentes slutt. Svaret er 7. Skjermutklipp. — Døme på bruk av kommandoen «Grenseverdi» i CAS i GeoGebra. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Med CAS i GeoGebra kan vi bruke kommandoen «Grenseverdi()», som vist til høgre.

Grenseverdien til ein rasjonal funksjon

Rasjonale funksjonar består av polynomfunksjonar i teljar og nemnar. Vi kan òg her finne grenseverdiar ved innsetjing. Føresetnaden er at vi ikkje får null i nemnar.

Vi skil mellom tre ulike situasjonar.

Talet 1. Illustrasjon. — Bilete: Anne Seland Skailand / CC BY-NC-SA 4.0

1. Grenseverdi for ein brøk der nemnaren ikkje går mot null

Eksempel

Vi ser på brøkane $\frac{x + 5}{x - 1}$ og $\frac{x - 3}{x - 1}$ når $x$ går mot 3. Her kan vi finne grenseverdiane direkte ved å setje inn 3 i staden for $x$ og rekne ut.

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 3} \frac{x + 5}{x - 1} = \frac{3 + 5}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4 \\ \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x - 1} = \frac{3 - 3}{3 - 1} = \frac{0}{2} = 0 \end{array}$

Talet 2. Illustrasjon. — Bilete: Anne Seland Skailand / CC BY-NC-SA 4.0

2. Grenseverdi for ein brøk der nemnaren går mot null, men teljaren ikkje går mot null

Vi ser på brøken $\frac{2 x - 1}{x^{2} - 4}$ . Kva skjer med brøken når $x$ går mot 2?

Oppgåve

Prøv å setje inn tal som er nære 2. Kva får du?

Løysingsforslag

$\begin{array}{l} \frac{2 \cdot 2, 001 - 1}{2, 001^{2} - 4} \approx 750 \\ \frac{2 \cdot 2, 000 001 - 1}{2, 000 001^{2} - 4} \approx 750 000 \\ \frac{2 \cdot 2, 00 000 001 - 1}{2, 00 000 001^{2} - 4} \approx 75 000 000 \end{array}$

Når $x$ går mot 2, vil teljaren gå mot 3, medan nemnaren blir mindre og mindre. Det betyr at verdien av brøken blir større og større. Utrekningane ovanfor viser dette. Det viser seg at det ikkje eksisterer nokon grenseverdi. Verdien av brøken veks over alle grenser.

Det betyr at $\lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1}{x^{2} - 4}$ ikkje eksisterer.

Kva får du om du prøver kommandoen «Grenseverdi» i CAS i GeoGebra på denne grenseverdien?

Ein brøk har ingen grenseverdi for $x = a$ om vi får null i nemnar og eit tal ulikt null i teljar når vi set inn talet $a$ . Då vil verdien av brøken gå mot anten pluss eller minus uendeleg når $x$ nærmar seg $a$ .

Nedanfor viser vi korleis vi kan rekne ei slik oppgåve.

Eksempel

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 6}{x - 2} \\ 2^{2} - 6 = - 2 \\ 2 - 2 = 0 \\ \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 6}{x - 2} eksisterer ikkje \end{array}$

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive Grenseverdi parentes parentes x i andre minus 6 parentes slutt delt på parentes x minus 2 parentes slutt komma, 2 parentes slutt. Svaret er et spørsmålsteikn. Skjermutklipp. — Denne grenseverdien eksisterer ikkje. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Med CAS i GeoGebra får vi eit spørsmålsteikn til svar. Tilsvarande som når det ikkje eksisterer ei løysing på ei likning, betyr dette at grenseverdien ikkje eksisterer.

Talet 3. Illustrasjon. — Bilete: Anne Seland Skailand / CC BY-NC-SA 4.0

3. Grenseverdi for ein brøk der både teljaren og nemnaren går mot null

Ein regel seier at viss to funksjonar $f$ og $g$ er like for alle verdiar i nærleiken av $a$ , men ikkje nødvendigvis for $x = a$ , så er

$\lim_{x \to a} f (x) = \lim_{x \to a} g (x)$

Vi ser på brøken $\frac{x^{2} - 16}{2 x - 8}$ . Når $x = 4$ , får vi null i både teljar og nemnar.

Dette betyr at vi kan faktorisere og forkorte, og vi får

$\lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{2 x - 8} = \lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) (x + 4)}{2 (x - 4)} = \lim_{x \to 4} \frac{(x + 4)}{2} = \frac{4 + 4}{2} = 4$

Her er $f (x) = \frac{x^{2} - 16}{2 x - 8}$ og $g (x) = \frac{(x + 4)}{2}$ .

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Grenseverdi parentes parentes x i andre minus 16 parentes slutt delt på parentes 2 x minus 8 parentes slutt komma, 4 parentes slutt. Svaret er 4. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Med CAS i Geogebra får vi same svar.

Nedanfor viser vi korleis ei slik oppgåve kan reknast for hand.

Eksempel

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + x - 6}{x - 2} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 2^{2} + 2 - 6 & = & 0 \\ 2 - 2 & = & 0 \end{array}$

$\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + x - 6}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x + 3)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 3) = 2 + 3 = 5$

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive Grenseverdi parentes parentes x i andre pluss x minus 6 parentes slutt delt på parentes x minus 2 parentes slutt komma, 2 parentes slutt. Svaret er 4. Skjermutklipp. — Grenseverdien er 5. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Med CAS i GeoGebra får vi same svar.

Eksempel

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 4} \frac{6 (\sqrt{x} - 2)}{3 x - 12} \\ 6 (\sqrt{4} - 2) = 0 \\ 3 \cdot 4 - 12 = 0 \\ \lim_{x \to 4} \frac{6 (\sqrt{x} - 2)}{3 x - 12} = \lim_{x \to 4} \frac{6 (\sqrt{x} - 2)}{3 (x - 4)} \\ = \lim_{x \to 4} \frac{\overset{2}{6} (\sqrt{x} - 2)}{3 (\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{2}{(\sqrt{x} + 2)} \\ = \frac{2}{(\sqrt{4} + 2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{array}$

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive Grenseverdi parentes 6 multiplisert med parentes rot x minus 16 parentes slutt delt på parentes 3 x minus 12 parentes slutt komma, 4 parentes slutt. Svaret er ein halv. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Med CAS i GeoGebra får vi same svar.

Video: Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0