Rasjonale funksjonar, horisontal asymptote og asymptotefunksjon

Horisontale asymptotar kan vi finne ved å la $x$ gå mot eit uendeleg stort positivt eller negativt tal.

For funksjonen$$ f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2} $$har vi at

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-2}{x+2}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{x}{x}-\frac{2}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{2}{x}}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1-\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}}=\frac{1-0}{1+0}=1$

Det betyr at den horisontale asymptoten til funksjonen $$ f$$ er $$ y=1$$. Nedanfor har vi teikna både den horisontale og den vertikale asymptoten saman med funksjonen.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Vi kan finne asymptotane med kommandoen Asymptote(f) i CAS i GeoGebra. Merk at her går vi ut frå at funksjonen $$ f$$ er skriven inn på førehand. Viss ikkje, må vi anten først skrive inn funksjonen før vi bruker kommandoen eller setje inn sjølve funksjonsuttrykket mellom parentesane i kommandoen. Trykk på den kvite sirkelen ved eitt-talet i CAS-vindauget for å få teikna asymptotane i grafikkfeltet.

Tips: Når du skal teikne grafen til ein rasjonal funksjon for hand, er det lurt å finne asymptotane først.

For funksjonen $$ f\left(x\right)=\frac{3x^2}{x^2-x} $$har vi at

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x^2}{x^2-x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{3x^2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3}{1-\frac{1}{x}}=\frac{3}{1-0}=3$

Når $x$ går mot pluss eller minus uendeleg, vil grafen nærme seg linja $$ y=3$$.

Linja $$ y=3 $$er derfor ein horisontal asymptote for funksjonen $$ f$$. Nedanfor har vi teikna både den horisontale og den vertikale asymptoten saman med funksjonen. Merk at funksjonen ikkje eksisterer for $$ x=0$$. Derfor har vi markert dette på grafen.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Oppgåve 1

Finn asymptotane til funksjonen $$ f$$ med CAS.

Ikkje alle rasjonale funksjonar har ein horisontal asymptote. I dette dømet skal du utforske det sjølv – med litt hjelp.

Oppgåve 2

Finn asymptotane til funksjonen $$ f\left(x\right)=\frac{x^2}{x-1}$$.

Løysing

Nedanfor har vi funne asymptotane med CAS i GeoGebra.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Her får vi at $$ x=1 $$er den vertikale asymptoten til funksjonen $$ f$$, men $$ y=x+1 $$er ikkje den horisontale asymptoten. Dette er ei rett linje med stigingstal lik 1. Derfor kallar vi dette ein asymptotefunksjon til funksjonen $$ f$$.

Oppgåve 3

Teikn grafen til funksjonen $$ f$$ saman med asymptotane.

Løysing

Dersom du fann asymptotane på måten som vart beskriven i løysinga på den førre oppgåva, er funksjonen allereie teikna i grafikkfeltet i GeoGebra. Dersom du trykkjer på den kvite sirkelen rett under to-talet i linje 2 i CAS-feltet, blir òg asymptotane teikna.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Vi ser at funksjonen kryp inntil asymptotefunksjonen $$ y=x+1 $$ når $$ x\to \pm \infty $$.

Oppgåve 4

Vis ved å gjennomføre polynomdivisjon at funksjonen $$ f\left(x\right)$$ kan skrivast som

$$ f\left(x\right)=x+1+\frac{1}{x-1}$$

Løysing

$$ \begin{array}{ccccccccccc}& & x^2& :& (& x& ⎯& 1& )& = & x+1+\frac{1}{x-1} \\ ⎯& (& x^2& ⎯& x& )& & & & & \\ & & & & x& & & & & & \\ & & -& (& x& ⎯& 1& )& & & \\ & & & & & & 1& & & & \end{array}$$

Polynomdivisjonen går ikkje opp. Vi får ein rest lik 1. Denne resten skal òg delast på $$ x-1$$. Derfor må vi leggje til brøken $$ \frac{1}{x-1}$$.

Vi kan òg polynomdividere med GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Divisjon()". Dersom du får problem med å skrive inn kommandoen, bruk stor D i "Divisjon".

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Legg merke til at divisjonsresten kjem etter kommaet i svaret.

Oppgåve 5

Bruk resultatet i oppgåve 4 til å forklare kvifor

$$ f\left(x\right)\to x+1 $$ når $$ x\to \pm \infty $$

Oppgåve 6

I døme 1 og 2 finn vi den horisontale asymptoten ved å finne grenseverdien

$$ \underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)$$

Eksisterer denne grenseverdien for funksjonen i døme 3?

Oppgåve 7

Diskuter påstanden: "Dersom grenseverdien i den førre oppgåva hadde eksistert, ville funksjonen ha hatt ein horisontal asymptote."