Hopp til innhald
Fagartikkel

Rasjonale funksjonar, horisontal asymptote og asymptotefunksjon

Ved å finne grenseverdien for ein rasjonal funksjon når x går mot pluss eller minus uendeleg, finn vi samtidig den horisontale asymptoten til grafen til funksjonen. Kva skjer dersom denne grenseverdien ikkje eksisterer?

Horisontale asymptotar kan vi finne ved å la x gå mot eit uendeleg stort positivt eller negativt tal.

Linja  y=a er ein horisontal asymptote for funksjonen fdersomlimx±fx=a.

Døme 1

For funksjonen fx=x-2x+2 har vi at

limx±fx=limx±x-2x+2=limx±xx-2xxx+2x=limx±1-2x1+2x=1-01+0=1

Det betyr at den horisontale asymptoten til funksjonen f er  y=1. Nedanfor har vi teikna både den horisontale og den vertikale asymptoten saman med funksjonen.

Vi kan finne asymptotane med kommandoen Asymptote(f) i CAS i GeoGebra. Merk at her går vi ut frå at funksjonen f er skriven inn på førehand. Viss ikkje, må vi anten først skrive inn funksjonen før vi bruker kommandoen eller setje inn sjølve funksjonsuttrykket mellom parentesane i kommandoen. Trykk på den kvite sirkelen ved eitt-talet i CAS-vindauget for å få teikna asymptotane i grafikkfeltet.

Video: Tom Jarle Christiansen, //www.youtube.com/user/tomjch, Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0

Tips: Når du skal teikne grafen til ein rasjonal funksjon for hand, er det lurt å finne asymptotane først.

Døme 2

For funksjonen  fx=3x2x2-x har vi at

limx±fx=limx±3x2x2-x=limx±3x2x2x2x2-xx2=limx±31-1x=31-0=3

Når x går mot pluss eller minus uendeleg, vil grafen nærme seg linja  y=3.

Linja  y=3 er derfor ein horisontal asymptote for funksjonen f. Nedanfor har vi teikna både den horisontale og den vertikale asymptoten saman med funksjonen. Merk at funksjonen ikkje eksisterer for  x=0. Derfor har vi markert dette på grafen.

Oppgåve 1

Finn asymptotane til funksjonen f med CAS.

Døme 3 – asymptotefunksjon

Ikkje alle rasjonale funksjonar har ein horisontal asymptote. I dette dømet skal du utforske det sjølv – med litt hjelp.

Oppgåve 2

Finn asymptotane til funksjonen  fx=x2x-1.

Tips

Den enklaste måten er å bruke CAS og først skrive inn funksjonen og deretter bruke kommandoen Asymptote(f).

Løysing

Nedanfor har vi funne asymptotane med CAS i GeoGebra.

Her får vi at  x=1 er den vertikale asymptoten til funksjonen f, men  y=x+1 er ikkje den horisontale asymptoten. Dette er ei rett linje med stigingstal lik 1. Derfor kallar vi dette ein asymptotefunksjon til funksjonen f.

Oppgåve 3

Teikn grafen til funksjonen f saman med asymptotane.

Løysing

Dersom du fann asymptotane på måten som vart beskriven i løysinga på den førre oppgåva, er funksjonen allereie teikna i grafikkfeltet i GeoGebra. Dersom du trykkjer på den kvite sirkelen rett under to-talet i linje 2 i CAS-feltet, blir òg asymptotane teikna.

Vi ser at funksjonen kryp inntil asymptotefunksjonen  y=x+1  når  x±.

Oppgåve 4

Vis ved å gjennomføre polynomdivisjon at funksjonen f(x) kan skrivast som

fx=x+1+1x-1

Løysing

x2:(x1) = x+1+1x-1 (x2x)x-(x1)1

Polynomdivisjonen går ikkje opp. Vi får ein rest lik 1. Denne resten skal òg delast på  x-1. Derfor må vi leggje til brøken 1x-1.

Vi kan òg polynomdividere med GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Divisjon()". Dersom du får problem med å skrive inn kommandoen, bruk stor D i "Divisjon".

Legg merke til at divisjonsresten kjem etter kommaet i svaret.

Oppgåve 5

Bruk resultatet i oppgåve 4 til å forklare kvifor

 f(x)x+1  når  x±

Løysing

Vi har at  fx = x+1+1x-1. Brøken i det siste leddet går mot 0 når  x±  fordi nemnaren går tilsvarande mot pluss eller minus uendeleg. Derfor får vi at

f(x)x+1  når  x±

Oppgåve 6

I døme 1 og 2 finn vi den horisontale asymptoten ved å finne grenseverdien

limx±fx

Eksisterer denne grenseverdien for funksjonen i døme 3?

Løysing

Vi har frå den førre oppgåva at f(x)x+1 når x±, men uttrykket  x+1 går mot uendeleg når  x±. Grenseverdien kan derfor ikkje eksistere.

Oppgåve 7

Diskuter påstanden: "Dersom grenseverdien i den førre oppgåva hadde eksistert, ville funksjonen ha hatt ein horisontal asymptote."

Kommentar

Dersom grenseverdien hadde eksistert, ville det betydd at funksjonen gjekk mot ein fast verdi når  x±. Ein fast verdi betyr at funksjonen kryp inntil ein fast verdi når x blir veldig stor – og vi har ein horisontal asymptote.

Relatert innhald