Rasjonale funksjonar, horisontal asymptote og asymptotefunksjon
Ved å finne grenseverdien for ein rasjonal funksjon når x går mot pluss eller minus uendeleg, finn vi samtidig den horisontale asymptoten til grafen til funksjonen. Kva skjer dersom denne grenseverdien ikkje eksisterer?
Horisontale asymptotar kan vi finne ved å la gå mot eit uendeleg stort positivt eller negativt tal.
Linja er ein horisontal asymptote for funksjonen fdersomlimx→±∞fx=a.
Det betyr at den horisontale asymptoten til funksjonen f er y=1. Nedanfor har vi teikna både den horisontale og den vertikale asymptoten saman med funksjonen.
Vi kan finne asymptotane med kommandoen Asymptote(f) i CAS i GeoGebra. Merk at her går vi ut frå at funksjonen f er skriven inn på førehand. Viss ikkje, må vi anten først skrive inn funksjonen før vi bruker kommandoen eller setje inn sjølve funksjonsuttrykket mellom parentesane i kommandoen. Trykk på den kvite sirkelen ved eitt-talet i CAS-vindauget for å få teikna asymptotane i grafikkfeltet.
Tips: Når du skal teikne grafen til ein rasjonal funksjon for hand, er det lurt å finne asymptotane først.
Når x går mot pluss eller minus uendeleg, vil grafen nærme seg linja y=3.
Linja y=3er derfor ein horisontal asymptote for funksjonen f. Nedanfor har vi teikna både den horisontale og den vertikale asymptoten saman med funksjonen. Merk at funksjonen ikkje eksisterer for x=0. Derfor har vi markert dette på grafen.
Oppgåve 1
Finn asymptotane til funksjonen f med CAS.
Døme 3 – asymptotefunksjon
Ikkje alle rasjonale funksjonar har ein horisontal asymptote. I dette dømet skal du utforske det sjølv – med litt hjelp.
Oppgåve 2
Finn asymptotane til funksjonen fx=x2x-1.
Tips
Den enklaste måten er å bruke CAS og først skrive inn funksjonen og deretter bruke kommandoen Asymptote(f).
Løysing
Nedanfor har vi funne asymptotane med CAS i GeoGebra.
Her får vi at x=1er den vertikale asymptoten til funksjonen f, men y=x+1er ikkje den horisontale asymptoten. Dette er ei rett linje med stigingstal lik 1. Derfor kallar vi dette ein asymptotefunksjon til funksjonen f.
Oppgåve 3
Teikn grafen til funksjonen f saman med asymptotane.
Løysing
Dersom du fann asymptotane på måten som vart beskriven i løysinga på den førre oppgåva, er funksjonen allereie teikna i grafikkfeltet i GeoGebra. Dersom du trykkjer på den kvite sirkelen rett under to-talet i linje 2 i CAS-feltet, blir òg asymptotane teikna.
Vi ser at funksjonen kryp inntil asymptotefunksjonen y=x+1 når x→±∞.
Oppgåve 4
Vis ved å gjennomføre polynomdivisjon at funksjonen f(x) kan skrivast som
fx=x+1+1x-1
Løysing
x2:(x⎯1)=x+1+1x-1⎯(x2⎯x)x-(x⎯1)1
Polynomdivisjonen går ikkje opp. Vi får ein rest lik 1. Denne resten skal òg delast på x-1. Derfor må vi leggje til brøken 1x-1.
Vi kan òg polynomdividere med GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Divisjon()". Dersom du får problem med å skrive inn kommandoen, bruk stor D i "Divisjon".
Legg merke til at divisjonsresten kjem etter kommaet i svaret.
Oppgåve 5
Bruk resultatet i oppgåve 4 til å forklare kvifor
f(x)→x+1 når x→±∞
Løysing
Vi har at fx=x+1+1x-1. Brøken i det siste leddet går mot 0 når x→±∞ fordi nemnaren går tilsvarande mot pluss eller minus uendeleg. Derfor får vi at
f(x)→x+1 når x→±∞
Oppgåve 6
I døme 1 og 2 finn vi den horisontale asymptoten ved å finne grenseverdien
limx→±∞fx
Eksisterer denne grenseverdien for funksjonen i døme 3?
Løysing
Vi har frå den førre oppgåva atf(x)→x+1nårx→±∞, men uttrykket x+1går mot uendeleg når x→±∞. Grenseverdien kan derfor ikkje eksistere.
Oppgåve 7
Diskuter påstanden: "Dersom grenseverdien i den førre oppgåva hadde eksistert, ville funksjonen ha hatt ein horisontal asymptote."
Kommentar
Dersom grenseverdien hadde eksistert, ville det betydd at funksjonen gjekk mot ein fast verdi når x→±∞. Ein fast verdi betyr at funksjonen kryp inntil ein fast verdi når x blir veldig stor – og vi har ein horisontal asymptote.