Hopp til innhald
Oppgåve

Rasjonale funksjonar og asymptotar

Øv deg på å finne vertikale og horisontale asymptotar ved rekning, og teikn deretter grafen med digitale verktøy.

2.1.40

Gitt funksjonen  fx=x-1x-2.

a) Fyll ut resten av verditabellen.

x011,51,91,992,012,12,5345f(x)120101113232

Løysing

x011,51,91,992,012,12,5345f(x)120-1-9-9910111323243

b) Skriv med dine eigne ord kva som skjer med funksjonsverdien når x-verdien nærmar seg 2 frå venstre.

Løysing

Når x-verdien nærmar seg 2 frå venstre, går funksjonsverdien mot minus uendeleg.

c) Skriv med dine eigne ord kva som skjer med funksjonsverdien når x-verdien nærmar seg 2 frå høgre.

Løysing

Når x nærmar seg 2 frå høgre, går funksjonsverdien mot pluss uendeleg.

d) Teikn grafen til funksjonen f.

Løysing

Grafen til funksjonenf:

e) Teikn inn linja  x=2  i det same koordinatsystemet som grafen til f. Kva kallar vi denne linja?

Løysing

Linja  x=2  kallar vi vertikal asymptote.

2.1.41


Gitt funksjonen  fx=x-1x.

a) Fyll ut resten av tabellen.

x-1000-100-10-10,51101001000f(x)1,010,9

Løysing

x-1000-100-10-10,51101001000f(x)11,011,12-100,90,991

b) Skriv med dine eigne ord kva som skjer med funksjonsverdien når x-verdien nærmar seg -.

Løysing

Funksjonsverdien nærmar seg 1 når x-verdien nærmar seg -.

c) Skriv med dine eigne ord kva som skjer med funksjonsverdien når x-verdien nærmar seg .

Løysing

Funksjonsverdien nærmar seg 1 når x-verdien nærmar seg .

d) Teikn grafen til funksjonen f.

Løysing

Grafen til funksjonen f:

e) Teikn inn linja  y=1  i det same koordinatsystemet som grafen til f. Kva kallar vi denne linja?

Løysing

Linja  y=1  kallar vi horisontal asymptote.

2.1.42

Finn eventuelle asymptotar til funksjonen. Lag deretter ei skisse av grafen til funksjonen.

a)  fx=2x-2

Løysing

Vertikal asymptote:

Nemnaren er lik 0 når  x=2. Teljaren er ikkje 0.

Grenseverdien eksisterer ikkje.

limx2fx=±

Linja  x=2  er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

limx±fx=limx±2x-2=limx±2xxx-2x=01-0=0

Når x går mot ±, vil grafen til f nærme seg x-aksen. Linja  y=0  er ein horisontal asymptote for f.

Grafen til f:

b)  fx=x-1x-2

Løysing

Vertikal asymptote:

Nemnaren er lik 0 når  x=2. Teljaren er ikkje 0.

Grenseverdien eksisterer ikkje.

limx2fx=±

Linja  x=2  er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

limx±fx=limx±x-1x-2=limx±xx-1xxx-2x=1-01-0=1

Når x går mot ±, vil grafen til f nærme seg linja  y=1.

Linja  y=1  er ein horisontal asymptote for f.

Grafen til f:

c)  fx=x2+4x-2

Løysing

Vertikal asymptote:

Nemnaren er lik 0 når  x=2. Teljaren er ikkje 0.

Grenseverdien eksisterer ikkje.

limx2fx=±

Linja  x=2  er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

limx±fx=limx±x2+4x-2 =limx±x2x2+4x2xx2-2x2=limx±1+01x-0=10

Når x går mot ±, vil nemnaren gå mot 0. Teljaren blir eit tal ulikt frå 0. Grenseverdien eksisterer ikkje. Det er dermed ingen horisontal asymptote.

Grafen til f:

d)  fx=3x-1x

Løysing

Vertikal asymptote:

Nemnaren er lik 0 når  x=0. Teljaren er ikkje 0.

Grenseverdien eksisterer ikkje.

limx2fx=±

Linja  x=0  er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

limx±fx=limx±3x-1x=limx±3xx-1xxx=3-01=3

Når x går mot ±, vil grafen til f nærme seg linja  y=3.

Linja  y=3  er ein horisontal asymptote for f.

Grafen til f:

2.1.43

Finn eventuelle asymptotar til funksjonen. Teikn deretter grafen til funksjonen.

a)  fx=2x2x2-2

Løysing

fx=2x2x2-2

Vertikal asymptote:

Vi finn nullpunkta til nemnaren.

x2-2 = 0x2 = 2x = ±2

Det er her to moglege asymptotar. Vi undersøkjer først  x=2. Når  x=2, blir teljaren  2·(2)2=4. Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien eksisterer ikkje.

f(x)=±  når  x2. Linja  x=2  er ein vertikal asymptote for f.

Vi undersøkjer så for  x=-2. Når  x=-2, blir teljaren  2·-22=4. Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien eksisterer ikkje.

f(x)± når x-2. Linja  x=-2  er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

lim x±fx=limx±2x2x2-2=limx±2x2x2x2x2-2x2=21-0=31=2

Når x går mot ± uendeleg, vil grafen til f nærme seg linja  y = 2.

Linja  y = 2  er ein horisontal asymptote for f.

Grafen til f:

b)  fx=x2-2x+4x2-2x

Løysing

fx=x2-2x+4x2-2x

Vertikal asymptote:

Vi finn nullpunkta til nemnaren.

x2-2x = 0x(x-2) = 0x = 0 x = 2

Det er to moglege asymptotar. Vi undersøkjer først  x=0. Når  x=0, blir teljaren  02-2·0+4=4.

Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien eksisterer ikkje.

limx0fx=±

Linja  x=0  er ein vertikal asymptote for f.

Vi undersøkjer så for  x=2.

Når  x=2, blir teljaren  22-2·2+4=4.

Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien eksisterer ikkje.

lim x2fx=±

Linja  x=2  er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

limx±fx=limx±x2-2x+4x2-2x=limx±x2x2-2xx2+4x2x2x2-2xx2=limx±1-2x+4x21-2x=1-0+01-0=1

Når x går mot ± uendeleg, vil grafen til f nærme seg linja  y=1.

Linja  y=1  er ein horisontal asymptote for f.

Grafen til f:

c)  fx=x3-9x3

Løysing

fx=x3-9x3

Vertikal asymptote:

Nemnaren er lik 0 når  x=0. Teljaren blir ikkje 0.

Grenseverdien eksisterer ikkje.

limx0fx=±

Linja  x=0  er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

lim fxx±=lim x±x3-9x3=lim x±x3x3-9x3x3x3=1-01=1

Når x går mot ± uendeleg, vil grafen til f nærme seg linja  y=1.

Linja  y=1  er ein horisontal asymptote for f.

Grafen til f:

d)  fx=x-2x2-2x

Løysing

fx=x-2x2-2x

Vertikal asymptote:

Vi finn nullpunkta til nemnaren.

x2-2x = 0x(x-2) = 0x = 0  x = 2

Her er det to moglege asymptotar. Vi undersøkjer først  x=0. Når  x=0, blir teljaren  0-2=-2. Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien eksisterer ikkje.

limx0fx=±

Linja  x=0  er ein vertikal asymptote for f.

Vi undersøkjer så for  x=2. Sidan nemnaren er 0, er ikkje brøken definert.

Vi kan finne grenseverdien ved å forkorte.

limfxx2=limfxx2x-2x2-2x=limfxx2x-2x(x-2)=limx21x=12

Horisontal asymptote:

limx±fx=limx±x-2x2-2x=limx±xx2-2x2x2x2-2xx2=limx±1x-2x21-2x=0-01-0=0

Når x går mot ± uendeleg, vil grafen til f nærme seg linja til  y=0. Linja  y=0  er ein horisontal asymptote for f.

Grafen til f: